Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
    2.1 Sozialwahltheorie
        2.1.1 Zum Einstieg: Das Condorcet-Paradox
        2.1.2 Das sogenannte „Paradox des Liberalismus“
        2.1.3 Der „Klassiker“ der Sozialwahltheorie: Der Satz von Arrow
            2.1.3.1 Das Theorem
            2.1.3.2 Der Beweis des Theorems
            2.1.3.3 Ein alternativer Beweis
                Teil 1
                Teil 2
                Teil 3
            2.1.3.4 Ein dritter Beweis
            2.1.3.5 Resumé
        2.1.4 Aufgaben
    2.2 Zur Diskussion der Sozialwahltheorie
    2.3 Die These des „demokratischen Irrationalismus“
    2.4 Fazit
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

Teil 3
  1. Entsprechend des bisherigen Beweisgangs können wir zeigen, dass es nicht nur für und , sondern für jedes Paar von Alternativen einen Diktator gibt. Zu zeigen ist noch, dass es sich dabei jedesmal um ein- und denselben Diktator handelt.
     
  2. Es gibt also für die Alternativen und , und jeweils[36] einen Diktator.
     
  3. Dann kann aber kein dritter Diktator allein über und entscheiden, denn wenn der erste Diktator festsetzt und der zweite , dann ist der dritte wegen der Transitivität nicht mehr frei festzulegen. (Dasselbe gilt, wenn man die Zeichen und im vorhergehenden Satz jeweils vertauscht.) Also muss der dritte Diktator identisch mit einem der ersten beiden Diktatoren sein.
     
  4. Ist der dritte Diktator aber identisch mit dem ersten, dann kann der erste Diktator über und und über und entscheiden. Wenn der erste Diktator nun aber und damit auf Grund der Transitivität bestimmt, dann ist der zweite nicht mehr frei, fest zu setzen. Also muss der erste Diktator auch identisch mit dem zweiten sein.
     
  5. Da , und beliebig gewählt wurden, gibt es für jedes Tripel von Alternativen genau einen Diktator. Dann gibt es aber überhaupt nur einen Diktator, denn jeder Diktator, der über ein Tripel entscheidet, in dem zwei der Alternativen , und vorkommen, muss mit dem Diktator über , und identisch sein (nur einer von beiden kann ja über dieses Paar entscheiden). Für jede beliebige Alternative außer , , , muss aber der Diktator über , , dann auch identisch mit dem von , , sein. Also ist der Diktator von , , , Diktator für alle Alternativen.

Damit ist bewiesen, dass es unter den Bedingungen der Unabhängigkeit von dritten Alternativen, des unbeschränkten Bereichs und der Einstimmigkeit (Pareto-Effizienz) bei drei oder mehr Alternativen immer einen Diktator gibt. Die Bedingung der Diktatorfreiheit ist also nicht mehr erfüllbar, wenn die drei anderen Bedingungen erfüllt sind.

[36] An dieser Stelle ist noch nicht klar, dass es ein- und derselbe ist.

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