Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I
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Teil 3
- Entsprechend des bisherigen Beweisgangs können wir zeigen, dass es
nicht nur für und ,
sondern für jedes Paar von Alternativen einen Diktator gibt.
Zu zeigen ist noch, dass es sich dabei jedesmal um ein- und denselben
Diktator handelt.
- Es gibt also für die Alternativen
und ,
und jeweils[36] einen
Diktator.
- Dann kann aber kein dritter Diktator allein über
und entscheiden, denn wenn der erste
Diktator festsetzt und
der zweite , dann ist der
dritte wegen der Transitivität nicht mehr frei
festzulegen. (Dasselbe gilt, wenn man die Zeichen
und im vorhergehenden Satz
jeweils vertauscht.) Also muss der dritte Diktator identisch mit einem
der ersten beiden Diktatoren sein.
- Ist der dritte Diktator aber identisch mit dem ersten, dann kann der
erste Diktator über und
und über und
entscheiden. Wenn der erste Diktator nun aber
und damit auf Grund der Transitivität
bestimmt, dann ist der zweite nicht mehr frei,
fest zu setzen. Also muss der erste Diktator auch identisch mit dem
zweiten sein.
- Da ,
und beliebig gewählt wurden, gibt
es für jedes Tripel von Alternativen genau einen Diktator. Dann gibt
es aber überhaupt nur einen Diktator, denn jeder Diktator, der über
ein Tripel entscheidet, in dem zwei der Alternativen ,
und
vorkommen, muss mit dem Diktator über ,
und
identisch sein (nur einer von beiden kann ja über dieses Paar entscheiden).
Für jede beliebige Alternative außer
, ,
, muss aber der Diktator über ,
,
dann auch identisch mit dem von ,
,
sein. Also ist der Diktator von ,
, ,
Diktator für alle Alternativen.
Damit ist bewiesen, dass es unter den Bedingungen der Unabhängigkeit
von dritten Alternativen, des unbeschränkten Bereichs und der Einstimmigkeit
(Pareto-Effizienz) bei drei oder mehr Alternativen immer einen Diktator
gibt. Die Bedingung der Diktatorfreiheit ist also nicht mehr erfüllbar,
wenn die drei anderen Bedingungen erfüllt sind.
g+
f
@