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5 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie

5.1 Die Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie

Schon zuvor (Kapitel 2.4 wurde gezeigt, wie man mit Hilfe des Erwartungsnutzens Entscheidungen unter Risiko treffen kann. In diesem Kapitel werden wir auf die theoretischen Grundlagen des Erwartungsnutzens und besonders des sogenannten „Neumann-Morgensternschen“ Nutzenbegriffs eingehen, der schon früher als „kardinale Nutzenfunktion“ eingeführt wurde (siehe Kapitel 2.3.2).

Die Grundidee der Neumann-Morgensternschen Nutzentheorie besteht darin, neben den bestehenden Gütern (bzw. den Ergebnissen von Entscheidungsprozessen) „Lotterien“ als gedachte Güter einzuführen und durch den Vergleich (hinsichtlich der Präferenzrelation) von Lotterien und Gütern bzw. Lotterien untereinander sowie mit Hilfe von als selbst-evident angesehenen Konsistenzbedingungen eine kardinale Nutzenfunktion und das Prinzip des Erwartungsnutzen abzuleiten. Die folgende Darstellung lehnt sich vor allem an Resnik an (Resnik 1987, S. 88-98). Wie sehen diese „Lotterien“ aus und wie kommen sie zu Stande?

Grundsätzlich ist eine Lotterie immer eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über einer disjunkten, aber zugleich erschöpfenden Menge von Ereignissen. Kompliziert und, wenn es sich nicht gerade um Geldwerte handelt, zugegebenermaßen etwas unplausibel wird die Theorie dadurch, dass diese Lotterien als mögliche Güter bzw. erzielbare Ergebnisse eines Entscheidungsprozesses in die Präferenzrelation eigeordnet werden können müssen. Das stellt sich dann etwa wie folgt dar:

Angenommen jemand ordnet seine Präferenzen bezüglich der drei Güter „Eiscreme“, „Joghurt“ und „Trockenes Brot“ auf diese Weise: Eiscreme $\succ$ Joghurt $\succ$ Trockenes Brot

Dann postuliert die Theorie,[62] , dass es eine Lotterie mit zwei möglichen Preisen, nämlich „Eiscreme“ als Hauptgewinn und „Trockenes Brot“ als Niete gibt (wobei man den Hauptgewinn mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit $a$ erhält und die Niete dementsprechend mit der inversen Wahrscheinlichkeit $1-a$), so dass zwischen dieser Lotterie und dem in der Mitte eingeordneten Gut „Joghurt“ Indifferenz herrscht. Angenommen eine Person speist gerne Jogurt, so dass dieser Indifferenzpunkt bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit von $a=80%$ erreicht wird. Dann gilt, wenn wir unsere gedachte Lotterie mit „Lotterie (a=0.8, Eiscreme, Trockenes Brot)“ bezeichnen:

Lotterie (a=0.8, Eiscreme, Trockenes Brot) $\sim$ Joghurt

Wozu in aller Welt soll das gut sein? Und woher soll nun einer wissen, ob er zwischen Jogurt und einer 80%-igen Gewinnchance auf Eiscreme (bei Strafe von trockenem Brot) indifferent ist und nicht etwa einer 70%-igen oder 60%-igen etc.? Die Antwort auf die erste Frage ist, dass sich damit eine raffinierte, und unter einer großen Gruppe von Ökonomen und einer kleinen Gruppe von Philosophen überaus populäre Nutzentheorie aufbauen lässt, die wir gleich kennen lernen werden. Die Antwort auf die zweite Frage stellt eine etwas schwierige Angelegenheit dar, die man lange diskutieren müsste. So recht überzeugend lässt sie sich, wenn es sich nicht gerade mal wieder um Geldwerte handelt, offen gestanden nicht beantworten, so dass wir an dieser Stelle schon eine gehörige Portion guten Willen mitbringen müssen, um die Theorie zu akzeptieren. Zugleich wird an dieser Stelle deutlich, warum es mit dem Hilfsmittel der Lotterien immer möglich ist, aus beliebigen wohlgeformten Präferenzen eine kardinale Nutzenfunktion zu erzeugen: Indem wir unserem Akteur nämlich eine definitive Wahrscheinlichkeitsangabe abnötigen, zwingen wir ihn zu genau der Zahlenangabe, die wir brauchen, um eine Intervallskala zu konstruieren, und die uns beim bloß ordinalen Nutzen fehlt.

Ist man dazu bereit, sich die Theorie trotz ihrer m.E. zweifelhaften Voraussetzungen anzuhören, so wird man Lotterien der Einfachheit halber in der Form darstellen:

$L(a, x, y)$

Dabei sind $x$ und $y$ zwei beliebige Güter (bzw. Ergebnisse). $a$ ist die Wahrscheinlichkeit, mit der der Gewinn $x$ herauskommt, und $1-a$ ist dementsprechend die Wahrscheinlichkeit mit der die „Niete“ $y$ gezogen wird. In allgemeiner Form, d.h. bei mehr als zwei Gütern, werden Lotterien so dargestellt:

$L((p_1,\ldots,p_n), (x_1,\ldots,x_n)) \qquad p_1 + \ldots + p_n = 1$

wobei $x_1,\ldots, x_n$ ein Tupel von $n$ Gütern (oder Ergebniss) ist und $p_1,\ldots, p_n$ die Wahrscheinlichkeiten mit der das jeweilige Gut „gewonnen“ wird. Im Folgenden werden wir uns aber auf zwei-stellige Lotterien beschränken, da man mehrstellige Lotterien immer als verschachtelte zweistellige Lotterien darstellen kann.

Wenn man schon zulässt, dass Güter mit dieser Art von Lotterien darauf hin verglichen werden können, ob irgendein Akteur indifferent zwischen ihnen ist, dann ist es nur ein kleiner Schritt, auch noch Lotterien mit Lotterien zu vergleichen. D.h. wenn $L_1(a_1, x_1, y_1)$ eine Lotterie ist und $L(a_2, x_2, y_2)$ eine weitere, dann kann man für jedes Gut oder jede Lotterie die bezüglich der Präferenzen des Akteurs zwischen $L_1$ und $L_2$ eingeordnet ist eine Lotterie $L(b, L_1, L_2)$ konstruieren, so dass der Akteur zwischen dieser Lotterie und dem mittleren Gut (oder der mittleren Lotterie) indifferent ist.

Auf diese Weise kann man nach folgenden drei Regeln eine „vollständige Menge“ [63] von Lotterien konstruieren (Resnik 1987, S. 91):

1. Jedes Grundgut („basic prize“) ist eine Lotterie. (Im Zweifelsfall kann man für ein Gut $x$ ja immer die Lotterie $L(1, x, x)$ nehmen.) Es wird weiterhin angenommen, dass es ein oder mehrere beste bzw. schlechteste Grundgüter gibt (was immer gegeben ist, wenn die Menge der Grundgüter endlich ist).
    
2. Wenn $L_1$ und $L_2$ Lotterien sind, dann auch $L(a, L_1, L_2)$ für jedes beliebige $a$ mit $0 \leq a \leq 1$.
    
3. Es gibt keine Lotterien außer den nach den ersten beiden Regeln konstruierten.

Weiterhin wird verlangt, dass für die Lotterien folgende Bedingungen gelten (Resnik 1987, S. 90-92) :

1. Ordnungsbedingung: Auf der vollständigen Menge der Lotterien ist eine Präferenzrelation definiert, (die bezüglich der ursprünglichen Güter mit der auf der Menge dieser Güter definierten Präferenzrelation übereinstimmen sollte.)
    
2. Kontinuitätsbedingung: Für beliebige Lotterien $x$,$y$ und $z$ gilt: Wenn $x \succ y \succ z$, dann gibt es eine Lotterie $L(a, x, z)$, so dass $y \sim L(a, x, z)$.
    
3. Bedingung der höheren Gewinne: Für beliebige Lotterien $x$,$y$ und $z$ und jede beliebige Wahrscheinlichkeit $a > 0$ gilt: $x \succ y$ genau dann wenn $L(a, x, z) \succ L(a, y, z)$. (Einfach gesagt: Eine Lotterie wir dann vorgezogen, wenn man „höhere Preise“ gewinnen kann.)
    
4. Bedingung der besseren Chancen: Für jedes Paar von Lotterien $x$ und $y$ und beliebige Wahrscheinlichkeiten $a$ und $b$ gilt: Wenn $x \succ y$ dann ist $L(a, x, y) \succ L(b, x, y)$ genau dann wenn $a > b$. (Einfach gesagt: Bei gleichen Preisen wird die Lotterie mit den besseren Chancen bevorzugt.)
    
5. Reduzierbarkeit zusammengesetzter Lotterien: Für jede zusammengesetzte Lotterie der Form $L(a, L(b,x,y), L(c,x,y))$ gilt:
   
   $L(a, L(b,x,y), L(c,x,y)) \sim L(ab+(1-a)\cdot c, x, y)$
   
   (Einfach ausgedrückt: Zusammengesetzte Lotterien, deren innere Lotterien dieselben Güter enthalten (!), können entsprechend den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf einfachere reduziert werden.)

Wenigstens die zweite und dritte dieser Bedingungen kann man als selbstevident betrachten. Die anderen Bedingungen sind zumindest plausibel, wenn man sich überhaupt auf das Gedankenexperiment mit den „Lotterien“ einlässt. Nun lässt sich beweisen, dass man, wenn diese Bedingungen gegeben sind, eine Nutzenfunktion konstruieren kann, die die Erwartungsnutzeneigenschaft hat, und die zugleich eine kardinale Nutzenfunktion ist. Insgesamt muss die so konstruierte Nutzenfunktion $u$ also die folgenden Eigenschaften haben:

1. $u(x) > u(y)$ genau dann wenn $x \succ y$
    
2. $u(x) = u(y)$ genau dann wenn $x \sim y$
    
3. $u(L(a,x,y)) = au(x) + (1-a)u(y)$ (Erwartungsnutzeneigenschaft)
    
4. Jede Nutzenfunktion $u'$, welche die ersten drei Bedingungen erfüllt, kann durch positiv lineare Transformation in die Nutzenfunktion $u$ überführt werden.

Wie kann man das beweisen? Resnik folgend kann der Beweis in zwei Schritten geführt werden, indem zuerst die Existenz einer Nutzenfunktion bewiesen wird, die die ersten drei Eigenschaften erfüllt, und dann die Eindeutigkeit dieser Nutzenfunktion bis auf positive lineare Transformation.

[62] Siehe die „Kontinuitätsbedingung“ weiter unten auf Seite 5.1.

[63] Dieses Verfahren, aus einer Grundmenge mit Hilfe bestimmter „Produktionsregeln“ einen „Abschluss“ zu erzeugen (wobei ein Abschluss allgemein als die Menge aller derjenigen Objekte verstanden werden kann, die aus einer Menge von Grundobjekten mit Hilfe gegebener Produktionsregeln erzeugt werden können), ist uns schon bei dem De Finetti-Abschluss in der letzten Vorlesung begegnet (siehe Seite 4.2.2).

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