Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I |
Inhalt |
Um den Beweis der Existenz einer Nutzenfunktion mit der Erwartungsnutzeneigenschaft
zu führen, konstruieren wir eine solche Funktion
und zeigen, dass sie eine Nutzenfunktion ist (Eigenschaften 1 und 2)
und dass sie die Erwartungsnutzeneigenschaft besitzt (Eigenschaft 3).
Dazu bezeichnen wir zunächst entsprechend Resniks Darstellung (Resnik 1987, S. 94)
das beste Gut als („best“)
und das schlechteste Gut als („worst“).
(In dem Fall, dass es mehrere beste oder schlechteste Güter gibt, bezeichnet
ein beliebiges bestes Gut und
ein beliebiges schlechtestes Gut.) Dann setzen wir fest:
Nun betrachten wir eine beliebige Lotterie ,
die hinsichtlich der Präferenzrelation zwischen
und eingeordnet ist (also: ).
Nach der Kontinuitätsbedingung gibt es dann auch eine Lotterie
mit einer Wahrscheinlichkeit
, .
Wir können nun
setzen, falls die Wahrscheinlichkeit
eindeutig bestimmt ist. Das ist aber der Fall, weil für jedes
auf Grund der Bedingung der besseren Chancen gilt:
Da die Indifferenzrelation transitiv
ist („wohlgeformte Präferenzen“), muss dann auch gelten:
.
Man beachte, dass aus der Definition
für alle Lotterien unmittelbar folgt:
Genau dasselbe ist es zu sagen, dass für jede bliebige Lotterie
gilt:
Von diesem Zusammenhang werden wir weiter unten noch Gebrauch machen.
Mit haben wir dann aber bereits eine Funktion definiert, die jeder Lotterie einen eindeutigen Wahrscheinlichkeitswert zuordnet. Zu zeigen ist noch, dass es sich dabei um eine Nutzenfunktion mit der Erwartungsnutzeneigenschaft handelt. Dazu müssen wir zunächst nachweisen, dass die ersten drei der oben aufegführten Eigenschaften für die so definierte Funktion gegeben sind.
Teilbeweis der Eigenschaft
genau dann wenn : Wenn für dasjenige ,
für welches gilt ,
dann ergibt sich durch Einsetzen unmittelbar .
Aufgrund der Bedingung der besseren Chancen wissen wir, dass
Da jeweils gilt
und können wir
die Lotterien in der vorkommenden Äquivalenzaussage durch
und ersetzen und erhalten das Gesuchte.
Teilbeweis der Eigenschaft
genau dann wenn : Aus der
Bedingung der besseren Chancen ergibt sich, dass
denn wäre , dann wäre
entweder oder ,
und in beiden Fällen besagt die Bedingung der besseren Chancen, dass
dann auch für die entsprechenden Lotterien
oder gelten muss, so dass
nur noch gelten kann, wenn .
Durch Ersetzen analog zum Vorigen erhalten wir wiederum das Gesuchte.
Teilbeweis der Eigenschaft .
Um den Beweis zu führen bedienen wir uns des zuvor als Corollar bewiesenen
Substitutionsgesetzes (siehe Seite 5.1.1).
Der Einfachheit halber soll dabei
für die Lotterie stehen.
Nach der Definition der Nutzenfunktion (
für dasjenige , für welches ),
gilt:
Durch Substitution von und
in der Lotterie erhalten wir:
Nach der Reduzierbarkeitsbedingung ergibt sich daraus:
mit . Da aber
(nach unserer Definition von ) gilt:
, so erhalten
wir daraus:
Da auf Grund der Bedingung der besseren Chancen, wie zuvor bewiesen,
in diesem Falle sein muss,
folgt das Gesuchte. Damit ist der Beweis der Existenz einer Nutzenfunktion,
der die Erwartungsnutzeneigenschaft zukommt, abgeschlossen.