Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
    3.1 Wahrscheinlichkeiten I: Rechentechniken
        3.1.1 Einführung
            3.1.1.1 Zielsetzung
            3.1.1.2 Was sind Wahrscheinlichkeiten?
        3.1.2 Grundlegende Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
        3.1.3 Der Bayes'sche Lehrsatz
        3.1.4 Aufgaben
    3.2 Wahrscheinlichkeiten II: Interpretationsfragen nicht klausurrelevant!)
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

3.1 Wahrscheinlichkeiten I: Rechentechniken

3.1.1 Einführung

3.1.1.1 Zielsetzung

In dieser und der folgenden Woche werden die mathematischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie besprochen, die für die Theorie der Entscheidungen unter Risiko (d.h. solchen Entscheidungen, bei denen wir im Gegensatz zu Entscheidungen unter Unwissenheit die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Zustände oder Zufallsereignisse kennen) benötigt werden.

Folgendes steht auf dem Programm:

  1. Herleitung der wesentlichen Gesetze der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie, also insbesondere:
    1. Wahrscheinlichkeit von „und“-verknüpften Ereignissen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei möglichen Zufallsereignissen, deren jeweilige Wahrscheinlichkeit bekannt ist, beide eintreten?
       
    2. Wahrscheinlichkeit von „oder“-verknüpften Ereignissen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei möglichen Ereignissen das eine oder das andere eintritt?
       
    3. Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, dass von einem anderen abhängt, unter der Bedingung, dass das andere Ereignis schon eingetreten ist? Und im Gegensatz dazu, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es überhaupt, also ohne diese Bedingung, eintritt?

     
  2. Der Satz von Bayes. Das Theorem von Bayes ist grundlegend für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten und hat zahlreiche Anwendungen in der Statistik, der Entscheidungstheorie und der Philosophie.

Am Ende dieses Kapitel wird jeder Aufgaben wie die folgende mühelos lösen können:

Ca. 3% aller 70-jährigen haben Alzheimer. Auch wenn Alzheimer bisher nicht geheilt werden kann, ist die Früherkennung eine wichtige Voraussetzung für vorbeugende, den Krankheitsverlauf evtl. mildernde Maßnahmen. Leider lässt sich Alzheimer nur schwer präzise diagnostizieren. (Erst durch Gewebeuntersuchungen am verstorbenen Patienten lässt sich mit Sicherheit feststellen, ob eine Alzheimererkrankung vorlag.) Angenommen einmal, die Forschung hätte einen Gedächtnistest entwickelt, durch den eine vorliegende Alzheimererkrankung mit 95%-iger Sicherheit diagnostizierbar ist, an dem im Durchschnitt aber auch 2% der älteren Menschen scheitern, selbst wenn sie nicht an Alzheimer erkrankt sind.

Angenommen, Sie sind Ärztin oder Arzt und untersuchen einen 70-jährigen Patienten mit Hilfe des Gedächnistests. Es zeigt sich, dass der Patient nicht mehr in der Lage ist, die Aufgaben des Tests zu lösen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient an Alzheimer erkrant ist?

Um es vorweg zu nehmen: Die Antwort „95%“ ist falsch! Aber warum? Dafür eben benötigt man die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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