Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Inhalt

4.1.4 Aufgaben

1. Ca. 3% aller 70-jährigen haben Alzheimer. Auch wenn Alzheimer bisher nicht geheilt werden kann, ist die Früherkennung eine wichtige Voraussetzung für vorbeugende, den Krankheitsverlauf evtl. mildernde Maßnahmen. Leider lässt sich Alzheimer nur schwer präzise diagnostizieren. (Erst durch Gewebeuntersuchungen am verstorbenen Patienten lässt sich mit Sicherheit feststellen, ob eine Alzheimererkrankung vorlag.) Angenommen einmal, die Forschung hätte einen Gedächtnistest entwickelt, durch den eine vorliegende Alzheimererkrankung mit 95%-iger Sicherheit diagnostizierbar ist, an dem im Durchschnitt aber auch 2% der älteren Menschen scheitern, selbst wenn sie nicht an Alzheimer erkrankt sind.

   Durch einen zweiten Test, der etwas weniger zuverlässig ist als der erste, wird eine Vorliegende Krankheit in 90% aller Fälle richtig erkannt und mit 10% Wahrscheinlichkeit wird Fehlalarm gegeben, obwohl gar keine Erkrankung vorliegt.

   Aufgabe: Angenommen beide Tests fallen positiv aus. Zeigen Sie durch Rechnung: Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Tests durchgeführt werden.

    
2. Angenommen bei der vorhergehenden Aufgabe würde mindestens einer der Tests negativ ausfallen, können Sie dann auch eine präzise Aussage über die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung machen?
    
3. Zeigen Sie, dass die Bayes'sche Formel für das inverse Ereignis, dass der Patient nicht krank ist, obwohl der Test positiv ausgefallen ist (nicht zu verwechseln mit dem Ereignis, dass er nicht krank ist, wenn der Test negativ ausgefallen ist!) wie wir es erwarten würden gleich 1 minus dem ursprünglichen Ereignis ist, also $P(\neg p|q) = 1 - P(p|q)$. Zeigen Sie dies durch eine Rechnung für das gegebene Beispiel.
    
4. Eine Menge von Ereignissen $\{p_1, p_2, \ldots, p_n\}$ heisst paarweise unvereinbar, wenn für jedes Paar $p_i,p_k$ gilt, dass $p_i$ und $p_k$ miteinander unvereinbar sind. Dagegen nennt man eine Menge $\{p_1, p_2, \ldots, p_n\}$ von Ereignissen vollständig unvereinbar, wenn niemals alle Ereignisse aus der Menge eintreten können. Zeigen Sie: Paarweise Unvereinbarkeit ist stärker als vollständige Unvereinbarkeit, indem eine Menge paarweise unvereinbarer Ereignisse immer auch vollständig unvereinbar ist, aber nicht umgekehrt.
    
5. a) Zeigen Sie, aus dem 3. kolmogorowschen Axiom (wenn p und q unvereinbar, dann $P(p \vee q) = P(p) + P(q)$) folgt: Für jede endliche Menge von paarweise unvereinbaren Ereignissen $p_i$ mit $0 \leq i < n, n \in \mathbb{N}$ gilt:
   
   $P(\bigvee_{0 \leq i < n} p_i) = P(p_1 \vee p_2 \vee \ldots) = P(p_1) + P(p_2) + \ldots = \sum_{0 \leq i < n} P(p_i)$
   
   Warum kann man nicht in gleicher Weise das Axiom 3' ($P(\sum_{i=0}^{\infty} p_i) = \sum_{i=0}^{\infty} P(p_i)$) aus Axiom 3 ableiten? (Bemerkung: Wäre eine solche Ableitung möglich, dann müsste man Axiom 3' auch nicht als Axiom einführen.)
    
6. Leiten Sie eine Formel für $P(q_1 \vee q_2 \vee q_3)$ analog zum Corollar 5 aus der Vorlesung her.
    
7. Bonferroni's Ungleichung besagt:
   
   $P(p \wedge q) \geq P(p) + P(q) - 1$
   
   Beweisen Sie Bonferroni's Ungleichung.
    
8. In der Vorlesung wurde für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und-verknüpfter Ereignisse das Beispiel eines Aktienunternehmens U angeführt, das eine Gewinnwarnung ausgibt. Dabei war:
   • q die Aussage „U gibt eine Gewinnwarnung aus“
      
   • p die Aussage „Der Aktienkurs von U“ steigt

   Die Wahrscheinlichkeit, dass U eine Gewinnwarnung ausgibt und der Aktienkurs von U steigt, wurde berechnet nach:
   
   $P(p \wedge q) = P(q) \cdot P(p|q)$
   
   Wegen der Kommutativität des und-Operators $\wedge$ hätte man, rein mathematisch betrachtet, aber auch
   
   $P(p \wedge q) = p(p) \cdot P(q|p)$
   
   rechnen dürfen. Wie müsste man die zweite Formel in Worten wiedergeben? Führt dies zu einer sinnvollen Interpretation? Wonach richtet sich, welche der beiden Formeln man verwenden wird?

    
9. Zeigen Sie: a) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von einer Menge von paarweise unvereinbaren Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.

   b) Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ereignisse einer Menge von paarweise unabhängigen Ereignissen eintreten, ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.

   c) Wenn die Ereignisse nicht paarweise unvereinbar bzw. unabhängig sind, wird die entsprechende Wahrscheinlichkeit dann größer oder kleiner?

    
10. Sei $p_1, p_2, \ldots, p_n$ eine Menge von Ereignissen, die paarweise unvereinbar sind, von denen aber ein Ereignis auf jeden Fall eintreten muss. Sei q weiterhin ein Ereignis dessen Wahrscheinlichkeit nicht 0 ist. a) Zeige, dass dann folgende erweiterte Form des Bayes'schen Lehrsatzes gilt:

    
    
    $P(p_i|q) = \frac{P(q|p_i)P(p_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(q|p_i)P(p_i)}$
    
    

    (Hinweis: Der Beweis kann ganz analog zu dem Beweis des Bayes'schen Lehrsatzes aus der Vorlesung geführt werden.)

     
11. Welche Bedingung muss für $P(q|p)$ (positiv-positiv Rate) und $P(q|\neg p)$ gelten, damit:
    1. $P(p|q) > P(p)$
        
    2. $P(p|q) < P(p)$
        
    3. $P(p|q) = P(p)$

    Mit anderen Worten: Unter welcher Bedingung unterstützt ein positiver Testausgang $q$ die Wahrscheinlichkeit dafür, das $p$ stimmt, und unter welcher Bedingung verringert er sie?

    Ansatz: Zeige, unter welcher Bedingung diese Ungleichung gilt (bzw. die umgekehrte Ungleichung bzw. die entsprechende Gleichung):
    
    $\frac{P(q|p)\cdot P(p)}{P(q|p)P(p) + P(q|\neg p)P(\neg p)} > P(p)$
    
    

    Zusatz: Zeige, dass im letzten Fall, d.h. wenn $P(p|q) = P(p)$, auch gilt, dass $p$ und $q$ statistisch unabhängig sind.

    
    schwierigere Aufgaben
    

     
12. Beweisen Sie den Zusammenhang, der in Aufgabe 4.1.4 durch eine Beispiel-Rechnung illustriert wurde, mathematisch.
     
13. Führen Sie den vollständigen mathematischen Beweis für den in Aufgabe 4.1.4 behaupteten Zusammenhang.
     
14. Ergänzung zu Aufgabe 4.1.4: Können Sie auch eine entsprechende Vorschrift für $P(\bigvee\limits_{i = 1}^{n} q_i)$ formulieren?

t g+ f @