Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
    3.1 Wahrscheinlichkeiten I: Rechentechniken
        3.1.1 Einführung
        3.1.2 Grundlegende Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
        3.1.3 Der Bayes'sche Lehrsatz
            3.1.3.1 Ein „Anwendungsbeispiel“: Bayes in der medizinischen Diagnostik
            3.1.3.2 Ein weiteres Anwendungsbeispiel: Wieviel Geld sind Informationen wert?
        3.1.4 Aufgaben
    3.2 Wahrscheinlichkeiten II: Interpretationsfragen nicht klausurrelevant!)
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

3.1.3.2 Ein weiteres Anwendungsbeispiel: Wieviel Geld sind Informationen wert?

Der Bayes'sche Lehrsatz lässt sich auch einsetzen, wenn es darum geht, den Wert von unsicheren Informationen zu beurteilen. Dazu muss man allerdings zunächst klären, wie hoch man den Wert von Informationen überhaupt zu veranschlagen hat. Resnik führt dazu folgendes gedachte Beispiel an (Resnik 1987, S. 57):

Jemand steht vor der Entscheidung, € 50.000 in eine Firma zu investieren oder lieber in Sparbriefen anzulegen. Die Investition in die Firma würde im Laufe eines Jahres 5% Zinsen einbringen, die in Sparbriefe 10%. Was die Investition in die Firma dennoch interessant macht ist, dass sie möglicherweise noch im Laufe desselben Jahres an die Börse geht. Dann nämlich würden sich die investierten € 50.000 verdoppeln. Als Entscheidungstabelle dargestellt, sieht die Situation also folgendermaßen aus:

BörsengangKein Börsengang
Investiere € 100.000 € 52.500
Kaufe Sparbriefe € 55.000 € 55.000

Angenommen, die Person, die vor dieser Entscheidung steht, hält sich an das Indifferenzprinzip und geht davon aus, dass eine 50% Chance besteht, dass die Firma an die Börse geht. In diesem Fall hätte die Entscheidung zu investieren einen Erwartungswert von € 100.000 + € 52.500 = € 76.250 und wäre damit dem Kauf von Sparbriefen vorzuziehen. Nun nehmen wir weiterhin an, es gäbe in der Firma einen Insider, der mit Sicherheit sagen könnte, ob die Firma im Laufe des Jahres an die Börse geht oder nicht, und dieser Insider wäre bereit, seine Information zu verkaufen.[55] Wieviel Geld sollte einem diese Information Wert sein. Das hängt wiederum davon ab, welche subjektive Einschätzung man über die Wahrscheinlichkeit hat, dass die Information dahingehend lautet, dass die Firma an die Börse geht. Nehmen wir an, dass in Ermangelung näheren Wissens wiederum von einer 50% Chance ausgegangen wird. Welchen Erwartungswert erzielt man mit dieser Information? In diesem Fall lautet die Rechnung € 100.000 + € 55.500 = € 77.500, weil in dem Fall, dass man erfährt, dass die Firma doch nicht an die Börse geht, Sparbriefe kaufen wird. Die Information sollte einem also höchstens € 1.250 Wert sein.

Um nun die Bayes'sche Formel ins Spiel zu bringen, gehen wir von der etwas realistischeren Annahme aus, dass die Information des Insiders nicht völlig zuverlässig ist. Wir nehmen vielmehr an, dass sie einem internen Bericht entnommen ist, von dem nicht sicher ist, wie zuverlässig er ist. Angenommen aus vergleichbaren Fällen ist bekannt, dass wenn ein Börsengang geplant ist, dies mit einer 90%-igen Wahrscheinlichkeit in dem Bericht korrekt mitgeteilt wird, mit einer 10%-igen Wahrscheinlichkeit aber das Gegenteil behauptet wird. Angenommen weiterhin, wir hätten Grund zu der Annahme, dass wenn kein Börsengang stattfinden wird, dennoch mit einer 50%-igen Wahrscheinlichkeit in dem Bericht behauptet wird, es würde ein Börsengang statt finden. Welche Überlegung muss die Person, die vor der Frage steht, ob es sich lohnt, Geld in die Bestechung eines Informanden zu investieren, nun anstellen? Zunächst müsste sie die Wahrscheinlichkeiten berechnen, mit der die Firma an die Börse geht, falls dies in dem Bericht behauptet wird. Und ebenso müsste die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, falls dies in dem Bericht bestritten wird.

Für beide Rechnungen muss man die Bayes'sche Formel heranziehen. In beiden Fällen ist die Basisrate wiederum die subjektive Wahrscheinlichkeit, die für einen Börsengang spricht, und die wir nach dem Indifferenzprinzip auf 50% festgesetzt haben. Im ersten Fall beträgt die positiv-positiv-Rate 90% und die positiv-negativ-Rate 50%. Wenn das Ereignis ist, dass die Firma an die Börse geht und das Ereignis, dass im Bericht behauptet wird, dass sie es tut, und das Ereignis, dass im Bericht behauptet wird, dass sie es nicht tut, dann ergibt sich folgende Rechnung:



Die Wahrscheinlichkeit, dass die Firma nicht an die Börse geht, wenn im Bericht behauptet wird, dass sie es tut , ist natürlich genau die inverse Wahrscheinlichkeit, also .

Im zweiten Fall, d.h. in dem Fall, dass der Bericht einen Börsengang dementiert, betragen die entsprechenden Raten 10% und 50%. Die Rechnung sieht wie folgt aus:



Die entsprechende inverse Wahrscheinlichkeit beträgt 0,833.

Für die Beantwortung der Frage, welchen Wert eine solche nur relativ zuverlässige Information hat, müssen nun die Erwartungswerte berechnet werden, 1) für den Fall, dass die Information dahingehend lautet, dass das Unternehmen an die Börse geht, und 2) für den Fall, dass die Information anders lautet, wobei der durch die eben berechneten Wahrscheinlichkeiten umschriebene Zuverlässigkeitsgrad der Information zu berücksichtigen ist. Es ergibt sich in dem ersten Fall (Börsengang wird behauptet) ein Erwartungswert von:



Und für den zweiten Fall:



Das bedeutet aber, dass egal wie die Information ausfällt, es auf jeden Fall besser wäre, in die Firma zu investieren. Die Information selbst ist also wertlos! Es gnügt das Wissen, dass es eine entsprechende Information überhaupt gibt, und mit welchen Wahrscheinlichkeiten sie in dem ein oder anderen Fall (Börsengang oder nicht) zurverlässig ist oder nicht, im Zusammenhang mit der subjektiven Annahme einer gleichen Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses und das Nicht-Eintreten des Ereignisses.

(Nun könnte man noch die Frage anschließen, wie der Fall zu beurteilen wäre, wenn - bei anderen Wahrscheinlichkeiten - im zweiten Fall ein Wert herausgekommen wäre, der niedriger wäre als € 55.000. Dann müsste man, wie zuvor, den Erwartungswert, mit dem man in dem Fall rechnet, dass die Information positiv ausfällt, zu den € 55.000 addieren, die man in dem Fall erhält, dass die Information negativ ausfällt und man Sparbriefe kaufen wird. Beide Summanden müssten mit den subjektiven Wahrscheinlichkeitseinschätzungen dafür, wie die Information ausfällt, gewichtet werden (wofür wir eine gleichverteilte Wahrscheinlichkeit von 50% veranschlagt hatten). Das Ergebnis wäre mit dem Erwartungswert ohne jede Information von € 76.250 zu vergleichen, und entsprechend der Differenz der Wert der Information zu veranschlagen.)

Bei diesem Beispiel ist zu beachten, dass die mit Hilfe des Bayes'schen Lehrsatzes berechneten bedingten Wahrscheinlichkeiten davon abhängen, welche subjektive Wahrscheinlichkeitseinschätzung man bezüglich der in die Bayes'sche Formel eingesetzten Basisrate vornimmt. Es handelt sich um (rationale) subjektive Wahrscheinlichkeitseinschätzungen, nicht um „objektiv berechnete Wahrscheinlichkeiten“.

Damit sind wir wieder bei dem Problem der Interpretation von Wahrscheinlichkeitsaussagen, d.h. bei Frage, ob es sich um Aussagen über Häufigkeiten, subjektive Einschätzungen oder objektive „Propensitäten“ handelt. Mit diesem Problem werden wir uns in der nächsten Woche beschäftigen.

[55] Aus gutem Grund verbieten die Gesetze der meisten Länder übrigens sehr strikt den Gebrauch von Insiderwissen bei Börsengeschäften, wie er in diesem Beispiel angenommen wird.

t g+ f @