Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Inhalt

5.1.5 Aufgaben

1. Eine Ölfirma erwägt, an einer bestimmten Stelle in der Nordsee nach Öl zu bohren. Leider ist es keineswegs sicher, ob an der entsprechenden Stelle tatsächlich Ölvorkommen vorhanden sind. Das ist um so bedauerlicher als der Bau einer Ölplattform € 1.500.000 kostet, eine Investition, die verloren wäre, sollte dort tatsächlich kein Öl zu finden sein. Andererseits würde die Ölplattform € 30.000.000 einbringen, wenn Öl vorhanden ist. Anhand der geologischen Daten können die Fachleute der Ölfirma immerhin abschätzen, dass sich in dem fraglichen Gebiet mit 45%-iger Wahrscheinlichkeit Ölvorkommen befinden.

   Um eine genauere Abschätzung zu erhalten, könnte die Firma ein Expertenteam damit beauftragen, eine Probebohrung durchzuführen. Eine Probebohrung schlägt noch einmal mit € 400.000 zu Buche. Leider bieten auch derartige Expertisen keine absolute Sicherheit. Es ist bekannt, dass in 88% der Fälle vorhande Ölvorkommen durch die Expertise erkannt werden. Aber auch wenn kein Öl vorhanden ist, liefert eine Expertise in 3% der Fälle das falsche Ergebnis, es wäre Öl zu finden.

   Aufgabe:

   1. Bestimme (mit Hilfe der Bayes'schen Formel) die bedingten Wahrscheinlichkeiten, mit denen Öl vorhanden ist bzw. nicht vorhanden ist, wenn die Expertise positiv bzw. negativ ausfällt.
       
   2. Stelle den Entscheidungsbaum für das beschriebene Entscheidungsproblem auf. (Beachten Sie dabei an welcher Stelle welche bedingte Wahrscheinlichkeiten eingetragen werden müssen.)
       
   3. Löse den Entscheidungsbaum soweit auf, dass man eine Empfehlung geben kann, ob es sich für die Firma lohnt, eine Expertise in Auftrag zu geben.
   
    
2. $L'([0.5, 0.25, 0.25], A, B, C)$ sei eine Lotterie mit drei Preisen A, B, C, die jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten $0.5, 0.25, 0.25$ gezogen werden. Zeige, dass man diese Lotterie aus Lotterien mit ausschließlich zwei Preisen zusammensetzen kann (Resnik 1987, S. 91).
    
3. Erkläre: Wenn eine Nutzenfunktion die Erwartungsnutzeneigenschaft $u(L(a,x,y)) = au(x) + (1-a)u(y)$ hat, dann bedeutet dies, dass sie dem Nutzen einer Menge von unsicheren Ereignissen $E_1,\ldots , E_n$ mit Wahrscheinlichkeiten $p_1,\ldots, p_n$ den Erwartungsnutzen
   
   $EU = p_1u(E_1) + \ldots + p_nu(E_n)$
   
   zuordnet. (Sinn der Aufgabe: Damit wird gezeigt, dass sich die für den Zwei-Güter-Fall definierte Erwartungsnutzeneigenschaft leicht auf den $n$-Güter-Fall übertragen lässt.)
    
4. Zeige, dass bei einer zusammengesetzen Lotterie:
   
   $L(a, L(b,x,y), L(c,x,y))$
   
   die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Gewinn $x$ gezogen wird: $ab + (1-a)c$ ist, und die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ gezogen wird: $1 - (ab + (1-a)c)$ beträgt. (Damit wird gezeigt, dass die Reduzierbarkeitsbedingung (Seite 5.1) im Einklang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung steht.)
    
5. Warum ist bei der Bedingung der höheren Gewinne (Seite 5.1) sowie bei den entsprechenden Corrolarien die Einschränkung $a > 0$ notwendig? Mit anderen Worten: Wieso wäre die Bedingung für $a = 0$ unplausibel?
   Zusatzfrage: Warum gilt beim Substitutionsgesetz (Seite 5.1.1) keine entsprechende Einschränkung mehr?
    
6. Das St. Petersburg-Spiel wird folgendermaßen gespielt: Es wird eine Münze geworfen. Zeigt sie Kopf, dann erhält der Spieler 2 € und das Spiel ist beendet. Andernfalls wird sie ein weiteres Mal geworfen. Zeigt sie diesmal Kopf, so erhält der Spieler 4 €. Wenn nicht wird die Münze ein weiteres Mal geworfen und bei Kopf 8 € ausgezahlt usw.
   1. Wie groß ist der Erwartungswert des Spiels, wenn das Spiel maximal 2 Runden gespielt wird?
       
   2. Wie groß ist der Erwartungswert, wenn das Spiel maximal $n$ Runden gespielt wird?
       
   3. Wie groß ist der Erwartungswert des Spiels, wenn es mit unbeschränkter Rundenzahl gespielt wird?

   (Resnik 1987, S. 88)

   
   schwierigere Aufgabe
   

    
7. Zeige: Jede Lotterie mit $n$ Preisen ($n > 2$) lässt sich aus Lotterien mit zwei Preisen zusammensetzen.

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