Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Inhalt

5.1.1 Vorbereitung des Beweises

Bevor wir diesen Beweis führen, sollen einige unmittelbare Corrolarien der Bedingung der höheren Gewinne und der Bedingung der besseren Chancen vorgestellt werden, die uns helfen, den folgenden Beweis leichter zu führen. Für den Beweis dieser Corrolarien verwenden wir die Tatsache, dass die Lotterie $L(a,x,y)$ identisch ist mit der Lotterie $L(1-a,y,x)$ und daher entsprechnd ersetzt werden kann.

1. Corrolar zur Bedingung der besseren Chancen:
   
   $\forall_{x,y}\forall_{a,b} \qquad x \prec y \Rightarrow L(a,x,y) \prec L(b,x,y) \quad \Leftrightarrow \quad a > b$
   
   Beweis: Sei $x \prec y$, dann ist $y \succ x$, dann gilt aber nach der Bedingung der besseren Chancen:
   
   $\begin{eqnarray*} L(1-b,y,x) \succ L(1-a,y,x) & \Leftrightarrow & 1-b > 1-a \\ L(b,x,y) \succ L(a,x,y) & \Leftrightarrow & b < a \\ L(a,x,y) \prec L(b,x,y) & \Leftrightarrow & a > b \\ \end{eqnarray*}$
   
    
2. Corrolar zur Bedingung der besseren Chancen:
   
   $\forall_{x,y}\forall_{a,b} \qquad x \not\sim y \Rightarrow L(a,x,y) \not\sim L(b,x,y) \quad \Leftrightarrow \quad a \not= b$
   
   Beweis: Wenn $x \not\sim y$, dann ist entweder $x \succ y$ oder $x \prec y$. Wenn $x \succ y$, dann ist nach der Bedingung der besseren Chancen entweder $L(a, x, y) \succ L(b, x, y) \Leftrightarrow a > b$ oder $L(b, x, y) \succ L(a, x, y) \Leftrightarrow b > a$, also in jedem Fall $L(a,x,y) \not\sim L(b,x,y) \Leftrightarrow a \not= b$. Wenn aber $x \prec y$, dann folgt aus dem vorherigen Korrolar auf dieselbe Weise, dass $L(a,x,y) \not\sim L(b,x,y) \Leftrightarrow a \not= b$. Da dieser Ausdruck sowohl für $x \succ y$ als auch für $x \prec y$ folgt, folgt er in jedem Fall für $x \not\sim y$.
    
3. Corrolar zur Bedingung der höheren Gewinne:
   
   $\forall_{x,y,z}\forall_{a<1} \qquad x \succ y \Leftrightarrow L(a, z, x) \succ L(a, z, y)$
   
   Inhaltlich bedeutet dies, dass die Bedinung der höheren Gewinne auf der zweiten Stelle der Lotterie ebenso gilt wie auf der ersten. Beweis: Da nach der Bedingung der höhren Gewinne $x \succ y \Leftrightarrow L(b, x, z) \succ L(b, y, z)$ für alle $b>0$, gilt für alle $(1-b) < 1$ auch $x \succ y \Leftrightarrow L(1-b,z,x) \succ L(1-b,z,y)$. Mit $a := 1-b$ gilt dann aber auch („ohne Beschränknung der Allgemeinheit“ wie die Mathematiker sagen, da man für jedes $1-b$ ein entsprechendes $a := 1-b$ definieren kann) die Behauptung.
    
4. Corrolar zur Bedingung der höheren Gewinne:
   Für alle Lotterien $x,y,z$ und alle $a$ mit $0<a<1$ gilt:
   
   $x \not\sim y \quad \Leftrightarrow \qquad L(a,z,x) \not\sim L(a,z,y) \quad \wedge \quad L(a,x,z) \not\sim L(a,y,z)$
   
   Beweisskizze: Wenn $x \not\sim y$, dann ist entweder $x \succ y$ oder $x \prec y$. In beiden Fällen ergibt sich die Implikation, dass $(L(a,z,x) \not\sim L(a,z,y)) \wedge (L(a,x,z) \not\sim L(a,y,z))$ unmittelbar aus der Bedingung selbst. Zu zeigen ist nun noch, dass auch die umgekehrte Implikation gilt: Wenn $(L(a,z,x) \not\sim L(a,z,y)) \wedge (L(a,x,z) \not\sim L(a,y,z))$ dann $x \not\sim y$. Wiederum sind zwei Fälle von $\not\sim$ zu unterscheiden, nämlich $\succ$ und $\prec$. Die Implikation ergibt sich dann wiederum unmittelbar aus der Bedingung selbst.
    
5. Corrolar: Subsitutionsgesetz:
   
   $\forall_{L^*}\forall_{b} \qquad L^* \sim L(a,x,y) \quad \Rightarrow \quad L(b,L^*,z) \sim L(b, L(a,x,y), z)$
   
   Beweis: Aus dem vorhergehenden Corrolar ergibt sich (bis auf die Sonderfälle $b=0$ und $b=1$), dass
   
   $L(b, L^*, z) \not\sim L(b,L(a,x,y), z) \quad \Rightarrow \quad L^* \not\sim L(a,x,y)$
   
   Im Umkehrschluss muss daher gelten:
   
   $L^* \sim L(a,x,y) \quad \Rightarrow \quad L(b,L^*,z) \sim L(b, L(a,x,y), z)$
   
   Für die Sonderfälle $b=0$ und $b=1$ gilt die Formel unmittelbar, wie man sich leicht überlegen kann.

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