Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
    4.1 Die Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
        4.1.1 Vorbereitung des Beweises
        4.1.2 Existenz der Nutzenfunktion
        4.1.3 Eindeutigkeit der Nutzenfunktion
        4.1.4 Die Bedeutung der Neumann-Morgensternschen Nutzentheorie
        4.1.5 Aufgaben
    4.2 Diskussion der Neumann-Morgensternschen Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

4.1.3 Eindeutigkeit der Nutzenfunktion

Die Eindeutigkeit der eben definierten Nutzenfunktion ist so zu verstehen, dass wir keine Nutzenfunktion mit der Erwartungsnutzeneigenschaft aus den Bedingungen für Lotterien herleiten können, die sich nicht positiv linear in alle anderen daraus ableitbaren Nutzenfunktionen mit Erwartungsnutzeneigenschaft transformieren lässt.

Wir müssen also zeigen, dass jede beliebige Nutzenfunktion mit Erwatungsnutzeneigenschft , die die auf der vollständigen Menge der Lotterien definierte Präferenzrelation wiedergibt, eine positiv linear transformierte der eben konstruierten Nutzenfunktion ist, dass also gilt:



Der Beweis nach Resnik geht wie folgt (Resnik 1987, S.97/98):

Angenommen, wir verfügen neben der oben konstruierten Nutzenfunktionen noch über eine weitere Nutzenfunktion mit Erwartungsnutzeneigenschaft , die die vollständige Menge der Lotterien auf eine andere Nutzenskala abbildet. Aus dem Erwartungsnutzenprinzip ergibt sich, dass beide Abbildungen surjektiv sind (d.h. dass jeder Wert der Nutzenskala innerhalb des Intervalls zwischen dem größten und dem kleinsten Nutzenwert ein Nutzenwert irgendeiner Lotterie ist), denn (Beweisskizze) sei eine Lotterie, die den höchsten möglichen Nutzenwert hat, und eine Lotterie, die den kleinsten möglichen Nutzenwert hat, und sei irgendein Nutzenwert dazwischen, dann hat mit die Lotterie genau den Nutzenwert . Da dies für jedes beliebige gilt, gehören alle reellen Zahlen auf der Skala innerhalb des Bereiches vom kleinsten bis zum größten Nutzenwert zum Wertebereich der Nutzenfunktion.

Wenn jede Zahl auf der Nutzenskala vom kleinsten bis zum größten Nutzenwert der Nutzenwert einer Lotterie ist, dann können wir eine Abbildung definieren, die die Nutzenwerte der einen Skala auf die der anderen abbildet. Dazu definieren wir zunächst als eine Funktion, [64] die jedem Wert der -Skala eine (von möglicherweise mehreren) Lotterien zuordnet, für die gilt: . Für jede Zahl auf der -Skala gilt dann:





Im folgenden zeigen wir zunächst, dass für die Funktion eine der Erwartungsnutzeneigenschaft von und analoge Eigenschaft gilt, nämlich: für jedes und auf der -Skala. Daraus leiten wir dann das Gewünschte ab.

Nachweis der erwartungsnutzenanalogen Eigenschaft von : Zunächst einmal gilt nach der Definition von und der Erwartungsnutzeneigenschaft von , dass:



Nun gilt aber ebenso nach der Erwartungsnutzeneigenschaft von und wiederum nach der Definition von , dass:



In beiden Gleichungen steht der Term . Also kann man die Gleichungen zusammensetzen, und erhält:



Nun muss man sich nur noch folgendes klar machen: Aufgrund der zurvor bewiesenen Surjetivität von gibt es zu jedem und auf der -Skala mindestens je eine Lotterie und eine Lotterie , so dass und . Dann gilt aber ohne Beschränkung der Allgemeinheit für jedes und auf der -Skala, dass


was die erwartungsnutzenanaloge Eigenschaft von ist, die nachgewiesen werden sollte.

Mit diesem Wissen können wir folgende Rechnung aufstellen:


Wenn wir nun und setzen, dann haben wir gezeigt, dass eine linear transformierte von ist:



Da sein muss (wg. der Monotonieeigenschaft von (und damit auch von ) und ), ist , so dass es sich tatsächlich um eine positive lineare Transformation handelt. q.e.d.

[64] Bei handelt es sich nicht um eine Umkehrfunktion im strengen Sinne, da die Funktion nicht umkehrbar ist, weil sie unterschiedlichen Argumenten, nämlich verschiedenen Lotterien zwischen denen Indifferenz herrscht, den gleichen Funktionswert zuordnet.

t g+ f @