Das „Gesetz der großen Zahlen“ besagt, dass in allen Zufallsfolgen
der Häufigkeitsgrenzwert eines Merkmals
mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 gleich dem Wahrscheinlichkeitswert
von
ist. Um einzusehen, dass dies nicht ein- und dasselbe ist, wie zu sagen,
der Häufigkeitsgrenzwert beträgt ,
muss man sich klar machen, dass eine Wahrscheinlichkeit von 1 noch
nicht bedeutet, dass irgendein Ereignis mit Sicherheit eintritt. (Zur
Erinnerung: Die Kolmogorowschen Axiome fordern lediglich, dass ein
sicheres Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1 hat, aber nicht umgekehrt.)
Finden Sie Beispiele für:
Eine Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit 0 ist, das aber trotzdem möglich
ist.
Eine Ereignisfolge, innerhalb derer ein Merkmal unendlich oft auftritt,
aber trotzdem die Wahrscheinlichkeit 0 hat.
(Übrigens, die Lösung zu dieser Aufgabe ist bereits an anderer Stelle
in diesem Skript versteckt. Aber Nachdenken lohnt mehr als suchen
Das dritte kolmogorowsche Axiom besagt, dass für Ereignisse, die sich
ausschließen gilt:
Zeige, dass das dritte Axiom äquivalent ist zu dem Axiom 3*:
Seien Ereignisse, die
sich paarweise ausschließen (Exklusivität), von denen aber eins eintreten
muss (Vollständigkeit), dann gilt:
Zeige, dass man durch aufsummieren der Gleichungen:
über den index das Ergebnis:
erhält, sofern
Zeige durch Ausrechnen und unter Verwendung von ,
dass in den folgenden drei Gleichungen sowohl
als auch und
Null sind werden.
Wenn ein Wettender über eine Informationen
verfügt, die für die Ereignisse, auf die gewettet werden kann, relevant
ist, dann muss er seine Wahrscheinlichkeiten entsprechend
anpassen. Zeige: Wenn der Wettende für irgendeine Aussage
die Wahrscheinlichkeit
wählt, dann ist es für einen geschickten Buchmacher möglich eine „todsichere
Wette“ abzuschließen. Hinweis: Der Buchmacher muss dazu
sowohl auf als auch auf
eine Wette abschließen und die Wettbeträge entsprechend aufeinander
abstimmen. Dabei weiß er, ob
oder .