Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I |
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Die im Zusammenhang mit der Entscheidungs- und Spieltheorie wichtigste Theorie der Wahrscheinlichkeit ist die Theorie der subjektiven Wahrscheinlichkeit, wie sie ursprünglich von Ramsey und De Finetti entwickelt wurde (Resnik 1987, p. 68ff.). Subjektive Wahrscheinlichkeiten kommen im täglichen Leben u.a. dann vor, wenn wir Wetten abschließen. Daran knüpft die subjektive Wahrscheinlichkeitstheorie an. Natürlich kann die Theorie nicht vorschreiben, wie hoch wir auf etwas wetten sollen, oder mit welcher Wahrscheinlichkeit wir davon ausgehen sollen, dass diese oder jene Fussballmanschaft gewinnt, oder dieses oder jenes Pferd ein Rennen gewinnt etc., denn diese Einschätzungen sind ja gerade subjektiv. Was uns die Theorie subjektiver Wahrscheinlichkeiten aber zeigen kann, das ist, ob unsere Wahrscheinlichkeitseinschätzungen in sich konsistent sind, wenn sie sich auf mehrere, mit einander verbundene Sachverhalte beziehen.
Dazu ein einfaches Beispiel: Jemand behauptet, dass die Chancen, dass beim Bundesligaspiel Nürnberg gegen Bayern München die Chancen für einen Sieg von Nürnberg 90% betragen. Dann muss er, um konsequent zu sein, auch zugleich der Ansicht sein, dass ein Sieg für Bayern München zu 10% wahrscheinlich ist. Was wäre, wenn das nicht der Fall ist? Wenn z.B. jemand der Ansicht ist, dass ein Sieg Nürnbergs zu 90% wahrscheinlich ist, eine Sieg Bayerns aber zugleich zu 50% für wahrscheinlich hält. Dann könnte ein Buchmacher mit diesem mathematisch unkundigen Fussballfan eine sehr vorteilhafte Wette abschließen. Er würde z.B. vorschlagen: „Lass uns auf beides 100 € wetten, d.h. da Du den Sieg von Nürnberg zu 90% für wahrscheinlich hälst, zahlst Du 90 € ein und ich 10 €. Und für die Wette auf Bayern zahlen wir beide 50 € ein. Wer die Wette gewinnt, bekommt in dem einen, wie in dem anderen Fall die gesamten Einzahlungen.“ Geht der Fussballfan auf dieses Wettverfahren ein, dann hat der Buchmacher in jedem Fall einen Gewinn von 40 € sicher. Denn, wenn Nürnberg gewinnt, hat er in der ersten Wette 10 € verloren und in der zweiten 50 € gewonnen und, wenn Bayern gewinnt, hat er bei der zweiten Wette 50 € verloren aber bei der der ersten 90 € gewonnen. Man sagt auch (in der englischen Fachliteratur), er habe ein „Dutch Book“ gegen den unachtsamen Wettfreund gemacht.
Vor allem zeigt das Beispiel, dass unsere subjektiven Wahrscheinlichkeitseinschätzungen, sollen sie konsistent sein, nicht vollkommen willkürlich sein dürfen. Sobald wir nämlich der Richtigkeit irgendwelcher Aussagen (oder dem Eintreten irgendwelcher Ereignisse) bestimmte Wahrscheinlichkeiten zuweisen, ergeben sich daraus implizit die Wahrscheinlichkeiten, die wir den logischen Verknüpfungen dieser Aussagen mit und, oder und nicht und den bedingten Aussagen zuweisen müssen, wenn wir vermeiden wollen, das jemand ein „Dutch Book“, d.h. eine „todsichere Wette“ gegen uns abschließen kann.
Die Menge aller Aussagen, die man durch logische Verknüpfung oder Bedingungsbildung aus einer Grundmenge von Aussagen bilden kann, nennt man auch den De Finetti-Abschluss dieser Grundmenge von Aussagen. Die Frage ist nun, welche Wahrscheinlichkeiten wir den verküpften und bedingten Aussagen zuweisen müssen, damit sie konsistent in dem Sinne sind, dass man keine „todsichere Wette“ gegen sie abschließen kann? Das zentrale Theorem der subjektiven Wahrscheinlichkeitstheorie besagt, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die dem System dieser Aussagen (i.e. dem De Finetti-Abschluss) zugewiesenen Wahrscheinlichkeitswerte den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehorchen, d.h. wenn sie die kolmogorowschen Axiome erfüllen.
Ramsey-De Finetti Theorem: Die einer Menge von Aussagen zugewiesenen subjektiven Wahrscheinlichkeiten sind genau dann in sich konsistent (in dem Sinne, dass keine „todsicheren Wetten“ möglich sind), wenn sie den kolmogorowschen Axiomen gehorchen.
Dieses Theorem stellt eine Beziehung her zwischen einer grob an den empirischen Phänomenen des Wettens orientierten Konsistenzbedingung und den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wir werden zunächst den Beweis des Theorems führen und dann, wie schon bei den anderen Interpretationen des Wahrscheinlichkeitsbegriffs auch, die Argumente untersuchen, die für oder gegen die Annahme subjektiver Wahrscheinlichkeiten sprechen.
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