Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Inhalt

Beweis des Ramsey-De Finetti Theorems

Für den Beweis müssen wir präzisieren, was wir unter einer Wette verstehen. Dazu sind zunächst die Rollen des Wettenden und des Buchmachers zu unterscheiden. Der Wettende darf festlegen welche Wahrscheinlichkeiten er allen Aussagen bzw. Ereignissen zuweist. Der Buchmacher darf anschließend entscheiden, ob er dafür oder dagegen wettet, d.h. er legt einen positiven oder negativen Wettbetrag $S$ („S“ wie „stakes“) für die Wette fest. Die Wette spielt sicht dann immer folgendermaßen ab, zunächst muss der Wettende den Betrag $qS$ (bei einem Treuhänder) einzahlen. Gewinnt er die Wette, d.h. tritt das Ereignis ein, dann bekommt er den Betrag $S$ zurück. Verliert er die Wette, so verliert er seine Einzahlung. Legt der Buchmacher den Wettbetrag auf einen negativen Wert $S$ fest, dann sind auch die Ein- und Auszahlungen entsprechend negiert. Dann muss zunächst der Buchmacher einen Betrag von $q \cdot |S|$ einzahlen, und bekommt $|S|$ ausgezahlt, wenn das Ereignis eintritt. Es mag etwas sonderbar erscheinen, dass der Buchmacher entscheiden darf, ob er „dafür“ oder „dagegen“ wettet, aber andernfalls hätte die Zuweisung eines Wettquotienten durch den Wettenden wenig Sinn, da er ihn schon aus taktischen Gründen entweder möglichst hoch oder möglichst niedrig ansetzen würde, je nachdem, ob der Buchmacher gezwungen ist, dafür oder dagegen zu wetten. Nur wenn der Wettende nicht weiß, ob der Buchmacher dafür oder dagegen wettet, wird er seinen Wettquotienten exakt so wählen, wie es seiner Wahrscheinlichkeitseinschätzung entspricht.

Um den Beweis zu führen, zeigen wir zunächst, dass aus der Konsistenzannahme die kolmogorowschen Axiome folgen, und dann in einem zweiten Schritt, dass aus den Komogorwschen Axiomen die Konsistenz der Wahrscheinlichkeitszuweisungen folgt. Wir nehmen also an, dass wir eine Menge von Aussagen oder Ereignissen haben, denen konsistente Wahrscheinlichkeiten in dem oben beschriebenen Sinne zugewiesen worden sind. Dann gilt (Beweis nach Gillies (Gillies 2000, S. 60ff.)):

1. kolmogorowsches Axiom (indirekter Beweis): Angenommen jemand weist irgendeinem Ereignis $e$ eine Wahrscheinlichkeit $q < 0$ zu, dann wird der Buchmacher immer gewinnen, wenn er S < 0 wählt. (Da der Buchmacher S < 0 gewählt hat, muss er $q\cdot |S|$ „einzahlen“. Da aber $q < 0$ heisst das in Wirklichkeit, dass er $|q|\cdot |S|$ bekommt. Den Betrag hat der Buchmacher auf jeden Fall sicher. Gewinnt er dann noch die Wette, dann bekommt er sogar noch $|S|$ oben drauf. Der Buchmacher hat also eine „todsichere Wette“ abgeschlossen.)

   Wenn also das 1. kolmogorowsche Axiom verletzt wird, dann war die Wahrscheinlichkeitszuweisung auch inkonsistent im Sinne des Wettkriteriums. Da wir die Konsistenz aber voraussetzen, muss das 1. kolmogorowsche Axiom erfüllt sein.

    
2. kolmogorowsches Axiom (indirekter Beweis): Angenommen einem beliebigen Ereignis $e$ wurde eine Wahrscheinlichkeit $q > 1$ zugewiesen, dann gewinnt der Buchmacher immer, wenn er S > 0 wählt. (Der Wettende zahlt $q\cdot S > S$ ein bekommt aber höchstens $S$ zurück.) Um konsistent zu sein, darf also keinem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit größer 1 zugewiesen werden. Insbesondere gilt dies auch für ein Ereignis, dessen Eintreten sicher ist.

   Angenommen der Wettende weist einem sicheren Ereignis $\Omega$ eine Wahrscheinlichkeit $q < 1$ zu, dann gewinnt der Buchmacher immer, wenn er S < 0 wählt. (Dadurch wettet der Buchmacher für das Ereignis $\Omega$. Da das Ereignis sicher ist, bekommt der Buchmacher mit Sicherheit $|S|$ für seine Einzahlung von $q|S| < |S|$ zurück.) Um konsistent im Sinne des Wettkriteriums zu bleiben, darf also einem sicheren Ereignis auch niemals eine Wahrscheinlichkeit kleiner 1 zugewiesen werden.

    
3. kolmogorowsches Axiom (indirekter Beweis): Wir führen den Beweis in zwei Schritten. Zunächst wird gezeigt, dass aus den Konsistenz der Wahrscheinlichkeitszuweisungen folgt, dass für Wahrscheinlichkeiten einer beliebigen Menge sich (paarweise) wechselseitg ausschließender Ereignisse $e_1,\ldots, e_n$, die zugleich ausschöpfend sind (d.h. eins davon tritt auf jeden Fall ein), gilt, dass $P(e_1) + \ldots + P(e_n) = 1$. Dann wird gezeigt, dass daraus das 3. kolmogorowsche Axiom folgt.

   Angenommen jemand weist einer Menge sich wechselseitg ausschließender, aber ausschöpfender Ereignisse $e_1,\ldots, e_n$ die Wahrscheinlichkeiten $q_1,\ldots,q_n$ zu. und der Buchmacher setzt für alle Wetten denselben Wettbetrag $S$ an. Dann beträgt der Gewinn des Buchmachers, wenn das Ereignis $E_i$ eintritt:
   
   $G = q_1S + \ldots + q_nS - S = S(q_1 + \ldots + q_n -1)$
   
   Wählt der Wettende die Wahrscheinlichkeiten so, dass $q_1 + \ldots + q_n > 1$, dann gewinnt der Buchmacher immer, wenn er $S > 0$ ansetzt. Wählt der Wettende die Wahrscheinlichkeiten so, dass $q_1 + \ldots + q_n < 1$, so gewinnt der Buchmacher immer, wenn er $S < 0$ wählt.

   Also muss der Wettende, um konsistent zu bleiben $q_1 + \ldots + q_n = 1$ wählen. Hat er das aber (für jede Menge paarweise unvereinbarer und vollständig ausschöpfender Ereignisse) getan, dann erfüllen seine Wahrscheinlichkeitszuweisungen auch das 3. kolmogorowsche Axiom, denn: Seien $e$ und $f$ zwei beliebige, sich wechselseitig ausschließende Ereignisse, dann gilt nach Voraussetzung für die Wahrscheinlichkeitszuweisung des Wettenden:
   
   $P(e) + P(f) + P(\neg (e \vee f)) = 1$
   
   Da $e \vee f$ und $\neg (e \vee f)$ sich aber ebenfalls ausschließen, eins von beiden Ereignissen aber eintreten muss, gilt ebenfalls:
   
   $\ P(e \vee f) + P(\neg (e \vee f)) = 1$
   
   Subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung, so folgt das 3. kolmogorowsche Axiom:
   
   $\begin{eqnarray*} P(e) + P(f) - P(e \vee f) & = & 0 \qquad \Leftrightarrow \\ P(e) + P(f) & = & P(e \vee f) \end{eqnarray*}$
   

    
4. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Zunächst ist zu erklären, was unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit zu verstehen ist, wenn wir die Wahrscheinlichkeiten als Wettquotienten verstehen. $P(e|f)$ ist zu verstehen als der Wettquotient, mit dem auf das Ereignis e gewettet wird, sofern $f$ eintritt. Tritt $f$ nicht ein, so findet keine Wette statt. Es handelt sich also um eine Art „Optionswette“. Zu zeigen ist nun, dass bei einer konsistenten Festlegung aller bedingten Wettquotienten, die bedingte Wahrscheinlichkeit im Sinne der Theorie subjektivier Wahrscheinlichkeiten der bedingten Wahrscheinlichkeit wie sie im Zusammenhang mit den kolmogorowschen Axiomen definiert wurde ( 4.1.2) entspricht. Dazu beweisen wir, dass bei konsistenter Zuweisung von Wettquotienten das Multiplikationsgesetz für bedingte Wahrscheinlichkeiten $P(e \wedge f) = P(e|f)\cdot P(f)$ erfüllt ist. Es sei zunächst für zwei beliebige Ereignisse $e$ und $f$:
   1. $a$ der Wettquotient des Ereignisses $e \wedge f$.
       
   2. $b$ der Wettquotient des Ereignisses $e|f$.
       
   3. $c$ der Wettquotient des Ereignisses $f$.

   Seien weiterhin $S_1,S_2,S_3$ die den entsprechenden Ereignissen vom Buchmacher zugewiesenen Wettbeträge, dann ergeben sich folgende Gewinnrechnungen für jeden der drei möglichen Fälle 1. e und f treten ein, 2. f tritt ein, aber nicht e, 3. f tritt nicht ein.[60] :

   1. $G_1 = (a-1)\cdot S_1 + (b-1)\cdot S_2 + (c-1)\cdot S_3$
       
   2. $G_2 = a\cdot S_1 + b\cdot S_2 + (c-1)\cdot S_3$
       
   3. $G_3 = a\cdot S_1 + c\cdot S_3$

   (Was hier vorliegt ist ein Gleichungssystem mit drei unbekannten ($S_1, S_2, S_3$). Zu zeigen ist also, dass die einzige Bedingung unter der dieses Gleichungssystem keine Lösung für $G_1, G_2, G_3 > 0$[61] hat, die ist, dass $a=bc$. Gäbe es nämlich eine solche Lösung, dann hätte der Buchmacher für die entsprechenden Werte von $S_1, S_2, S_3$ seinen sicheren Gewinn.) Wenn der Buchmacher nun $S_1 := 1$, $S_2 := -1$ und $S_3 := -b$ wählt, dann ergibt sich daraus für den Buchmacher folgende Gewinnrechnung:

   1. $G_1 = (a-1) + (1-b) + b-b\cdot c = a - b\cdot c$
       
   2. $G_2 = a - b - b \cdot c + b = a - b\cdot c$
       
   3. $G_3 = a - b \cdot c$

   D.h. der Buchmacher hat einen sicheren Gewinn, sofern für die Wahrscheinlichkeitszuweisungen nicht gilt $a \leq b\cdot c$. Wählt er aber $S_1 := -1$, $S_2 := 1$ und $S_3 := b$, dann hat er einen sicheren Gewinnt, sofern für die Wahrscheinlichkeitszuweisungen nicht gilt $a \geq b \cdot c$. Das bedeutet aber, dass die Wettquotienten, um konstitent zu sein sowohl $a \leq b\cdot c$ als auch $a \geq b \cdot c$ erfüllen müssen. Das ist aber nur möglich, wenn:
   
   $a = b\cdot c \qquad \Leftrightarrow \qquad P(e \wedge f) = P(e|f)\cdot P(f)$
   
   Also muss für die in dem oben erklärten Sinne bedingten Wettquotienten das Multiplikationsgesetz gelten, wenn sie konstistent sein sollen.

Damit wäre die eine Richtung des Äquivalenzbeweises zwischen der Wettkonsistenz und der kolmogorowschen Wahrscheinlichkeit abgeschlossen. Was noch aussteht, ist die andere Richtung des Beweises, d.h. dass aus der Erfüllung der kolmogorowschen Axiome durch eine Zuweisung von Wettquotienten zu Ereignissen auch die Konsistenz der Wettquotienten in dem Sinne folgt, dass ein gedachter Gegenspieler keine „todsicheren Wetten“ abschließen kann. Was wir zeigen müssen ist, dass der De Finetti Abschluss einer beliebigen Menge von Aussagen (bzw. Ereignissen) konsistent ist, sofern die kolmogorowschen Axiome erfüllt sind.

Wir betrachten zunächst die im De Finetti-Abschluss vorkommenden Aussagen als jeweils einzelne Aussagen. Erfüllen die Aussagen die Kolmogorowschen Axiome, dann gilt für jede Aussage, dass ihre Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt. Dann ist es aber unmöglich für die Wette auf eine einzelne Aussage den Wettbetrag so zu festzulegen, dass der Buchhalter zwangsläufig gewinnt. (Auch wenn er in den Extremfällen, dass der Wettquotient $q$ auf 0 oder 1 festgelegt worden ist, den Wettbetrag $S$ so wählen kann, dass er nicht mehr verlieren kann, bedeutet dies noch nicht, dass ihm der Gewinn sicher ist. Insofern ist dann auch die Wette nicht „todsicher“.)

Als nächstes zeigen wir, dass auch die Wahrscheinlichkeiten von beliebigen oder-verknüpften Aussagen, soweit sie einander paarweise ausschließen und erschöpfend sind, konsistent sein müssen. Dazu leiten wir zunächst aus dem 3. kolmogorowschen Axiom ab, dass sich die Wahrscheinlichkeiten einer Menge von Aussagen (bzw. Ereignissen) $e_1,\ldots,e_n$, die sich paarweise ausschließen und ausschöpfend sind zu eins aufsummieren müssen. Durch entsprechende Klammerung kann man das, was im 3. kolmogorowschen Axiom für zwei unvereinbare Aussagen ausgesagt wird, leicht auf $n$ paarweise unvereinbare Aussagen übertragen, d.h. es gilt:

$P(e_1\vee \ldots \vee e_n) = P(e_1) + \ldots + P(e_n)$

Wenn die Ereignisse $e_1,\ldots,e_n$ aber ausschöpfend sind, dann gilt, dass $e_1\vee \ldots \vee e_n$ sicher ist und damit $P(e_1\vee \ldots \vee e_n) = 1$. Dann gilt aber auch:

$P(e_1) + \ldots + P(e_n) = P(e_1\vee \ldots \vee e_n) = 1$

Zur Vereinfachung schreiben wir für die Wahrscheinlichkeiten $P(e_1),\ldots,P(e_n)$ im folgenden $q_1,\ldots,q_n$. Aus der Gleichung ergibt sich, dass mindestens ein $q_i \geq 0$. Wenn der Buchmacher den Wetten auf die Ereignisse $e_1,\ldots,e_n$ die Wettbeträge $S_1,\ldots,S_n$ zuweist, dann berechnet sich der Gewinn, den er erhält, falls das $i$-te Ereignis eintritt nach:

$G_i = q_1S_1 + \ldots + q_nS_n - S_i$

Da wir für jedes $i$ (im Bereich $1 \leq i \leq n$) eine solche Gleichung aufstellen, verfügen wir über $n$ derartige Gleichungen. Jede dieser Gleichungen können wir auf beiden Seiten mit dem entsprechenden $q_i$ noch einmal multiplizieren. Wir erhalten dann eine Schar von Gleichungen der Form:

$\begin{eqnarray*}q_1G_1 & = & q_1(q_1S_1 + \ldots + q_nS_n) - q_1S_1 \\ { } & \vdots & { } \\ q_nG_n & = & q_n(q_1S_1 + \ldots + q_nS_n) - q_nS_n \\ \end{eqnarray*}$

Wenn wir diese Gleichungen aufaddieren, dann erhalten wir folgende Bedingung für die Gewinne, die der Buchmacher erzielen kann:

$q_1G_1 + q_2G_2 + \ldots + q_nG_n = 0$

Inhaltlich entspricht die rechte Seite der Gleichung übrigens dem Erwartungsnutzen des Buchmachers unter Zugrundelegung der subjektiven Wahrscheinlichkeiten des Wettenden, d.h. die Bedingung besagt, dass der Erwartungsnutzen des Buchmachers 0 sein muss. Wenn der Erwartungsnutzen des Buchmachers 0 ist, dann kann er aber keine „todsichere Wette“ mehr abschließen, denn: Für ihn ist nur dann ein sicherer Gewinn möglich, wenn alle $G_i$ positiv, d.h. echt größer 0 sind. (Andernfalls hätte er, wenn irgend ein $G_k \leq 0$, dann keinen Gewinn, wenn das $k$-te Ereignis eintritt, damit wäre seine Wette aber nicht mehr „todsicher“.) Es können aber nicht alle $G_i$ positiv sein, da wegen $q_i \geq 0 \forall_i$ (1. kolmogorowsches Axiom) und $\exists_ki q_k > 0$ (wg. $\sum q_i = 1$) die Summe auf der linken Seite der Gleichung sonst nicht 0 werden könnte.

Damit ist gezeigt, dass auch die oder-Verknüpfung von paarweise unvereinbaren aber den Ereignisraum ausschöpfenden Aussagen konsistent ist, sofern die zugewiesenen Wettquotienten den kolmogorowschen Axiomen gehorchen. So wie der Beweis geführt wurde, war es dem Buchmacher dabei sogar gestattet, den Wettbetrag nicht nur für die Gesamtaussage sondern für jedes Teilglied festzulegen. Dennoch ist keine „todsichere Wette“ möglich. Daraus folgt aber unmittelbar, dass wenn für jede oder-Verknüpfte Gesamtaussage (bestehend aus wechselweise unvereinbaren und ausschöpfenden Teilaussagen) schon keine „todsichere Wette“ möglich ist, dann auch für keine der Teilaussagen, denn sonst bräuchte der Buchmacher nur für die Teilaussage, für die eine „todsichere Wette“ möglich ist, den Wettbetrag entsprechend festzulegen und für alle weiteren Teilaussagen den Wettbetrag auf Null zu setzen, um eine todsichere Wette auf die Gesamtaussage abzuschließen.

Daraus ergibt sich wiederum unmittelbar, dass der Buchmacher auch auf wechselseitig unvereinbare aber nicht ausschöpfende oder-verknüpfte Aussagen keine „todsichere Wette“ abschließen kann. Denn angenommen $a$ sei eine solche Aussage, dann kann er auf $a \vee \neg a$ keine „todsichere Wette“ abschließen, dann nach dem eben gesagten aber auch nicht auf $a$. In einem letzten Schritt kann nun gezeigt werden, dass der Buchmacher in der Tat auf überhaupt keine oder-verknüpfte Aussage eine todsichere Wette abschließen kann (also auch ohne die Voraussetzung paarweiser Ausschließlichkeit). Denn seien $a$ und $b$ zwei nicht ausschließliche Aussagen, dann ist die Aussage $a \vee b$ äquivalent zu der Aussage $(a \wedge \neg b) \vee (b \wedge \neg a) \vee (a \wedge b)$. Diese drei Aussagen sind wechselweise unvereinbar. Da auf sie keine „todsichere Wette“ abgeschlossen werden kann, kann auch auf die äquivalente Aussage $a \vee b$ keine „todsichere Wette“ abgeschlossen werden.

Schließlich ist zu zeigen, dass auch bei und-verknüpften Aussagen keine „todsichere Wette“ möglich ist, sofern die kolmogorowschen Axiome erfüllt sind. Seien $e$ und $f$ zwei mögliche Ereignisse. Aus den kolmogorowschen Axiomen und der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergitb sich bekanntlich das Multiplikationsgesetz $P(e \wedge f) = P(e|f)\cdot P(f)$. Wie schon zuvor legen wir zur Vereinfachung folgende abkürzende Bezeichnungen fest.

1. $a = P(e \wedge f)$
    
2. $b = P(e|f)$
    
3. $c = P(f)$

Seien weiterhin $S_1,S_2,S_3$ die den enstprechenden Ereignissen vom Buchmacher zugewiesenen Wettbeträge. Wiederum sind dann vier Fälle zu unterscheiden, von allerdings zwei zusammen fallen, so dass sich hinsichtlich des Gewinns des Buchmachers drei Fälle ergeben:

1. $e \wedge f$: $G_1 = (a-1)\cdot S_1 + (b-1)\cdot S_2 + (c-1)\cdot S_3$
    
2. $\neg e \wedge f$ : $G_2 = a\cdot S_1 + b\cdot S_2 + (c-1)\cdot S_3$
    
3. $\neg f$: $G_3 = a\cdot S_2 + c\cdot S_3$

Zu zeigen ist, dass, wenn wir gemäß dem Multiplikationsgesetz $a=b\cdot c$ voraussetzen, die Gewinne nicht alle positiv sein können. Es genügt zu zeigen, dass der Erwartungsnutzen des Buchmachers (bezüglich der Wahrscheinlichkeiten des Wettenden) gleich 0 ist (siehe Seite ). Der Erwartungsnutzen des Buchmachers berechnet sich nach:

$\lambda_1G_1 + \lambda_2G_2 + \lambda_3G_3$

mit:

$\lambda_1 = b\cdot c, \qquad \lambda_2 = (1-b)\cdot c, \qquad \lambda_3 = 1-c$

(wovon man sich überzeugen kann, wenn man sich überlegt, in welchen Fällen welches $\lambda$ herangezogen werden muss).

Durch Einsetzen der obigen Gleichungen und Ausklammern von $S_1$, $S_2$ und $S_3$ erhält man:

$\lambda_1G_1 + \lambda_2G_2 + \lambda_3G_3 = \alpha S_1 + \beta S_2 + \gamma S_3$

wobei:

$\alpha = bc(a-1) + (1-b)ca + (1-c)a$



$\beta = bc(b-1) + (1-b)cb$



$\gamma = bc(c-1) + (1-b)c(c-1) + (1-c)c$

Durch Ausrechnen und Subsitution mit Hilfe der Voraussetzung $a=b\cdot c$ lässt sich zeigen, dass $\alpha = \beta = \gamma = 0$ Da wenigstens ein $\lambda > 0$ ist (die durch $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ angegebenen Wahrscheinlichkeiten decken alle möglichen Fälle ab, summieren sich also zu 1) folgt, dass keine „todsichere Wette“ für den Buchmacher möglich ist. Das betrifft sowohl und-verknüpfte Aussagen als auch bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Dass aus der Erfüllung der kolmogorowschen Axiome wiederum die Konsistenz der Wahrscheinlichkeiten (im Sinne des Wettkriteriumgs) folgt, hat eine wichtige Konsequenz in Fällen, in denen neue Informationen bekannt werden, die geeignet sind, die Wahrscheinlichkeiten, die wir bestimmten Ereignissen zuweisen, zu ändern. Da wir wissen, dass Wahrscheinlichkeiten, die wir durch „Bedingungsbildung“ (conditionalization) erhalten, wiederum die kolmogorowschen Axiome erfüllen, können wir auch davon ausgehen, dass wir durch die Ersetzung sämtlicher Wahrscheinlichkeiten mit den durch die Information „bedingten“ Wahrscheinlichkeiten, wieder ein System (genauer einen „De Finetti-Abschluss“) konsistenter subjektiver Wahrscheinlichkeiten erhalten. Die Bedingungsbildung geht dabei immer so vor sich, dass wir $P(a)$ durch $P(a|I)$ ersetzen und $P(a|b)$ durch $P(a|(b \wedge I))$, wobei $a$ eine beliebige Aussage bzw. ein beliebiges Ereignis unseres Systems ist, und $I$ die neu hinzugekommene Information. (Da bei Aussagen, die unabhängig von $I$ sind, sowieso $P(a|I) = P(a)$ gilt, können wir die Bedingungsbildung unbedenklich auf alle Aussagen des Systems anwenden.)

[60] Zwischen den Fällen $\neg f \wedge e$ und $\neg f \wedge \neg e$ braucht nicht unterschieden werden, da die Gewinnrechnung in beiden Fällen dieselbe ist: $G_3 = a\cdot S_2 + c\cdot S_3$

[61] $G_1, G_2, G_3$ decken alle drei möglichen Fälle ab, also müssen alle größer Null sein. Sonst wäre der Gewinn nicht mehr sicher, da ein Fall eintreten könnte, indem $G \leq 0$

t g+ f @