Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold
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1 Vorwort
2 Techniken des Entscheidens
3 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
    3.1 Sozialwahltheorie
        3.1.1 Zum Einstieg: Das Condorcet-Paradox
        3.1.2 Das sogenannte „Paradox des Liberalismus“
        3.1.3 Der „Klassiker“ der Sozialwahltheorie: Der Satz von Arrow
            3.1.3.1 Das Theorem
            3.1.3.2 Der Beweis des Theorems
                Beweis von Lemma 1
                Beweis von Lemma 2
                Beweis von Lemma 3
            3.1.3.3 Ein alternativer Beweis
            3.1.3.4 Ein dritter Beweis
            3.1.3.5 Resumé
        3.1.4 Aufgaben
    3.2 Zur Diskussion der Sozialwahltheorie
    3.3 Die These des „demokratischen Irrationalismus“
    3.4 Fazit
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung
5 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
6 Spieltheorie
7 Kritische Reflexion
8 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

3.1.3.2 Der Beweis des Theorems

Der wahrscheinlich einfachste Beweis, der sich für den Satz von Arrow finden lässt, folgt weitgehend Dennis Mueller (Mueller 2003, S. 583f.), der sich für seine Skizze wiederum auf William Vickrey stützt. Der Satz von Arrow wird dabei über drei Zwischenschritte (Lemmata) bewiesen:

  1. Lemma: Sei eine Teilmenge von Individuen, die beinahe entscheidend für über ist, dann ist beinahe entscheidend für alle Alternativen.
     
  2. Lemma: Sei beinahe entscheidend für alle Alternativen, dann enthält ein Individuum , das (bereits allein) beinahe entscheidend für alle Alternativen ist.
     
  3. Lemma: Ist ein Individuum beinahe entscheidend für alle Alternativen, dann ist auch vollständig entscheidend für alle Alternativen (und damit Diktator für alle Alternativen).
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