Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
    2.1 Sozialwahltheorie
        2.1.1 Zum Einstieg: Das Condorcet-Paradox
        2.1.2 Das sogenannte „Paradox des Liberalismus“
        2.1.3 Der „Klassiker“ der Sozialwahltheorie: Der Satz von Arrow
            2.1.3.1 Das Theorem
            2.1.3.2 Der Beweis des Theorems
                Beweis von Lemma 1
                Beweis von Lemma 2
                Beweis von Lemma 3
            2.1.3.3 Ein alternativer Beweis
            2.1.3.4 Ein dritter Beweis
            2.1.3.5 Resumé
        2.1.4 Aufgaben
    2.2 Zur Diskussion der Sozialwahltheorie
    2.3 Die These des „demokratischen Irrationalismus“
    2.4 Fazit
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

Beweis von Lemma 3

Ist ein Individuum beinahe entscheidend für alle Alternativen, dann ist dasselbe Individuum auch vollständig entscheidend für alle Alternativen.

  1. Sei das Individuum, das beinahe entscheidend für alle Alternativen ist. (Anmerkung 2.1.3.1 auf Seite 2.1.3.1 iVm Lemma 1 und Lemma 2)
     
  2. Angenommen, für gelten die Präferenzen und für alle anderen Individuen gelte sowohl als auch , wobei für die Ordnung von und bei den anderen Individuen beliebiges gelten kann. (Unbeschränkter Bereich)
     
  3. Dann gilt für das Kollektiv . ( ist beinahe entscheidend für alle Alternativen, also auch insbesondere für iVm 2.)
     
  4. Und es gilt für das Kollektiv . (Einstimmigkeit iVm 2.)
     
  5. Dann gilt für das Kollektiv aber auch . ( Transitivität)
     
  6. Für das Kollektiv muss unabhängig davon gelten, wie die anderen Alternativen, einschließlich , von den Individuen eingeordnet werden. (Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
     
  7. Dann ist vollständig entscheidend für . ( Definition von „vollständig entscheidend“ iVm 2., insbesondere da unter 2. die Ordnung von und für alle Individuen außer offen gelassen wurde.)
     
  8. In den Schritten 2. bis 7. wurde gezeigt, dass vollständig entscheidend für ist - bei beliebig gewählten, aber bestimmten . Um nun von irgendeinem Paar zu zeigen, dass vollständig entscheidend für ist, ersetze man im 2. Beweisschritt des Lemmas durch , durch und durch eine beliebige Alternative außer und und gehe dann die Schritte 2. bis 7. für die eingesetzten Alternativen durch.
     
  9. ist vollständig entscheidend für alle Alternativen. ( Anwendung des letzten Schrittes auf jedes mögliche Paar von Alternativen.)

Aus der Voraussetzung, dass es immer eine Teilmenge und ein Paar von Alternativen und gibt, für die beinahe entscheidend ist (siehe Anmerkung 2.1.3.1 auf Seite 2.1.3.1) ergibt sich in Verbindung mit Lemma 1, 2 und 3, dass es ein Individuum gibt, dass vollständig entscheidend für alle Alternativen ist. Da dies dem Prinzip der Diktaturfreiheit widerspricht, ist es nicht möglich die Voraussetzungen des unbeschränkten Bereichs, der Einstimmigkeit, der Unabhängigkeit von dritten Alternativen und der Diktaturfreiheit gleichzeitig zu erfüllen. Damit ist der Satz von Arrow bewiesen.

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