Sei $J$ das Individuum, das beinahe entscheidend für alle Alternativen ist. (Anmerkung 3.1.3.1 auf Seite 3.1.3.1 iVm Lemma 1 und Lemma 2)
Angenommen, für $J$ gelten die Präferenzen $x \succ y \succ u$ und für alle anderen Individuen gelte sowohl $y \succ x$ als auch $y \succ u$ , wobei für die Ordnung von $x$ und $u$ bei den anderen Individuen beliebiges gelten kann. (Unbeschränkter Bereich)
Dann gilt für das Kollektiv $x \succ_K y$ . ( $J$ ist beinahe entscheidend für alle Alternativen, also auch insbesondere für $x \succ_K y$ iVm 2.)
Und es gilt für das Kollektiv $y \succ_K u$ . (Einstimmigkeit iVm 2.)
Dann gilt für das Kollektiv aber auch $x \succ_K u$ . ( Transitivität)
Für das Kollektiv muss $x \succ_K u$ unabhängig davon gelten, wie die anderen Alternativen, einschließlich $y$ , von den Individuen eingeordnet werden. (Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
Dann ist $J$ vollständig entscheidend für $x \succ_K u$ . ( Definition von „vollständig entscheidend“ iVm 2., insbesondere da unter 2. die Ordnung von $x$ und $u$ für alle Individuen außer $x$ offen gelassen wurde.)
In den Schritten 2. bis 7. wurde gezeigt, dass $J$ vollständig entscheidend für $x \succ_K u$ ist - bei beliebig gewählten, aber bestimmten $x,y,u$ . Um nun von irgendeinem Paar $v,w$ zu zeigen, dass $J$ vollständig entscheidend für $v \succ_K w$ ist, ersetze man im 2. Beweisschritt des Lemmas $x$ durch $v$ , $u$ durch $w$ und $y$ durch eine beliebige Alternative außer $v$ und $w$ und gehe dann die Schritte 2. bis 7. für die eingesetzten Alternativen durch.
$J$ ist vollständig entscheidend für alle Alternativen. ( Anwendung des letzten Schrittes auf jedes mögliche Paar von Alternativen.)

Aus der Voraussetzung, dass es immer eine Teilmenge $D$ und ein Paar von Alternativen $x$ und $y$ gibt, für die $D$ beinahe entscheidend ist (siehe Anmerkung 3.1.3.1 auf Seite 3.1.3.1) ergibt sich in Verbindung mit Lemma 1, 2 und 3, dass es ein Individuum $J$ gibt, dass vollständig entscheidend für alle Alternativen ist. Da dies dem Prinzip der Diktaturfreiheit widerspricht, ist es nicht möglich die Voraussetzungen des unbeschränkten Bereichs, der Einstimmigkeit, der Unabhängigkeit von dritten Alternativen und der Diktaturfreiheit gleichzeitig zu erfüllen. Damit ist der Satz von Arrow bewiesen.