Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
    2.1 Sozialwahltheorie
        2.1.1 Zum Einstieg: Das Condorcet-Paradox
        2.1.2 Das sogenannte „Paradox des Liberalismus“
        2.1.3 Der „Klassiker“ der Sozialwahltheorie: Der Satz von Arrow
            2.1.3.1 Das Theorem
            2.1.3.2 Der Beweis des Theorems
                Beweis von Lemma 1
                Beweis von Lemma 2
                Beweis von Lemma 3
            2.1.3.3 Ein alternativer Beweis
            2.1.3.4 Ein dritter Beweis
            2.1.3.5 Resumé
        2.1.4 Aufgaben
    2.2 Zur Diskussion der Sozialwahltheorie
    2.3 Die These des „demokratischen Irrationalismus“
    2.4 Fazit
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

Beweis von Lemma 2

Sei beinahe entscheidend für alle Alternativen, dann enthält ein Individuum, das bereits allein beinahe entscheidend für alle Alternativen ist.

  1. Sei eine Menge von Individuen, die beinahe entscheidend für alle Alternativen ist. (Anmerkung 2.1.3.1 auf Seite 2.1.3.1 iVm Lemma 1)
     
  2. Wenn aus nur einem Individuum besteht, dann gilt die Folgerung von Lemma 2 bereits. (offensichtlich)
     
  3. Besteht aus zwei oder mehr Individuen, dann kann in zwei nichtleere, disjunkte Teilmengen und aufgeteilt werden. ( elementare Mengentheorie)
     
  4. Angenommen, für alle Individuen aus gelte , für Individuen aus gelte und für alle anderen Individuen gelte . (Unbeschränkter Bereich)
     
  5. Für das Kollektiv gilt . ( (3.) und ist beinahe entscheidend (1.) iVm mit den angenommenen Präferenzen (4.))


    Fallunterscheidung: 1. Fall

     
  6. Falls für das Kollektiv gilt, dann ist beinahe entscheidend für über . (Definition von „beinahe entscheidend“ iVm mit den Präferenzen (4.) und der Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
     
  7. Aber dann ist auch beinahe entscheidend für alle Alternativen. (Lemma 1)


    Fallunterscheidung: 2. Fall

     
  8. Falls für das Kollektiv gilt, dann gilt für das Kollektiv auch . (Transitivität iVm 5.)
     
  9. Aber dann ist beinahe entscheidend für über . ( Definition von „beinahe entscheidend“ iVm mit den Präferenzen (4.) und der Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
     
  10. Und ist auch beinahe entscheidend für jede andere Alternative. (Lemma 1)


    Ende der Fallunterscheidung

     
  11. Eine echte Teilmenge von (nämlich entweder oder ) ist beinahe entscheidend für alle Alternativen. (Zusammenführung der Konsequenzen beider Fälle der Fallunterscheidung)
     
  12. Es gibt eine Teilmenge von , die nur ein Individuum enthält, das für alle Alternativen beinahe entscheidend ist. (Wiederholung der Schritte 2.-11. für diejenige echte Teilmenge von , die beinahe entscheidend für alle Alternativen ist, solange, bis sie nur noch ein Individuum enthält.)

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