Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Inhalt

Beweis von Lemma 2

Sei $D$ beinahe entscheidend für alle Alternativen, dann enthält $D$ ein Individuum, das bereits allein beinahe entscheidend für alle Alternativen ist.

1. Sei $D$ eine Menge von Individuen, die beinahe entscheidend für alle Alternativen ist. (Anmerkung 3.1.3.1 auf Seite 3.1.3.1 iVm Lemma 1)
    
2. Wenn $D$ aus nur einem Individuum besteht, dann gilt die Folgerung von Lemma 2 bereits. (offensichtlich)
    
3. Besteht $D$ aus zwei oder mehr Individuen, dann kann $D$ in zwei nichtleere, disjunkte Teilmengen $A$ und $B$ aufgeteilt werden. ( elementare Mengentheorie)
    
4. Angenommen, für alle Individuen aus $A$ gelte $x \succ y \succ u$, für Individuen aus $B$ gelte $y \succ u \succ x$ und für alle anderen Individuen gelte $u \succ x \succ y$. (Unbeschränkter Bereich)
    
5. Für das Kollektiv gilt $y \succ_K u$. ($A \cup B = D$ (3.) und $D$ ist beinahe entscheidend (1.) iVm mit den angenommenen Präferenzen (4.))

   
   Fallunterscheidung: 1. Fall

    
6. Falls für das Kollektiv $y \succ_K x$ gilt, dann ist $B$ beinahe entscheidend für $y$ über $x$. (Definition von „beinahe entscheidend“ iVm mit den Präferenzen (4.) und der Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
    
7. Aber dann ist $B$ auch beinahe entscheidend für alle Alternativen. (Lemma 1)

   
   Fallunterscheidung: 2. Fall

    
8. Falls für das Kollektiv $x \succ_K y$ gilt, dann gilt für das Kollektiv auch $x \succ_K u$. (Transitivität iVm 5.)
    
9. Aber dann ist $A$ beinahe entscheidend für $x$ über $u$. ( Definition von „beinahe entscheidend“ iVm mit den Präferenzen (4.) und der Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
    
10. Und $A$ ist auch beinahe entscheidend für jede andere Alternative. (Lemma 1)

    
    Ende der Fallunterscheidung

     
11. Eine echte Teilmenge von $D$ (nämlich entweder $A$ oder $B$) ist beinahe entscheidend für alle Alternativen. (Zusammenführung der Konsequenzen beider Fälle der Fallunterscheidung)
     
12. Es gibt eine Teilmenge von $D$, die nur ein Individuum enthält, das für alle Alternativen beinahe entscheidend ist. (Wiederholung der Schritte 2.-11. für diejenige echte Teilmenge von $D$, die beinahe entscheidend für alle Alternativen ist, solange, bis sie nur noch ein Individuum enthält.)

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