Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
    2.1 Sozialwahltheorie
        2.1.1 Zum Einstieg: Das Condorcet-Paradox
        2.1.2 Das sogenannte „Paradox des Liberalismus“
        2.1.3 Der „Klassiker“ der Sozialwahltheorie: Der Satz von Arrow
            2.1.3.1 Das Theorem
            2.1.3.2 Der Beweis des Theorems
                Beweis von Lemma 1
                Beweis von Lemma 2
                Beweis von Lemma 3
            2.1.3.3 Ein alternativer Beweis
            2.1.3.4 Ein dritter Beweis
            2.1.3.5 Resumé
        2.1.4 Aufgaben
    2.2 Zur Diskussion der Sozialwahltheorie
    2.3 Die These des „demokratischen Irrationalismus“
    2.4 Fazit
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

Beweis von Lemma 1

Sei eine Teilmenge von Individuen, die beinahe entscheidend für über ist, dann ist beinahe entscheidend für alle Alternativen.

  1. Sei eine Menge von Individuen, die beinahe entscheidend für über ist, wobei und irgendein Paar von Alternativen ist. (Anmerkung 2.1.3.1 auf Seite 2.1.3.1)


    1. Teil (Ersetzbarkeit von rechts)

     
  2. Annahme: Für alle Individuen in und eine beliebige dritte Alternative gelte und für alle anderen Individuen . (Unbeschränkter Bereich)
     
  3. Dann gilt für das Kollektiv: . ( ist nach 1. beinahe entscheidend)
     
  4. Und es gilt für das Kollektiv: . ( Einstimmigkeit iVm 2.)
     
  5. Und es gilt für das Kollektiv: . (Transitivität iVm 3. und 4.)
     
  6. Für das Kollektiv muss unabhängig davon gelten, wie die anderen Alternativen, einschließlich , von den Individuen eingeordnet werden. (Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
     
  7. Also ist beinahe entscheidend für über (für jedes beliebige , das nicht identisch mit oder ist). (Definition beinahe entscheidender Mengen iVm 2., 5. und 6.)


    Damit ist der erste Teil des Beweises von Lemma 1 abgeschlossen. Was bis hierher bewiesen wurde ist: Wenn eine Menge für entscheidend ist, dann dürfen wir in dieser Formel den rechten Term (also das ) durch jede beliebige dritte Alternative () ersetzen, und die Aussage stimmt immer noch. Nun wird noch gezeigt, dass das für den linken Term (also das ) ganz genauso gilt.


    2. Teil (Ersetzbarkeit von links)

     
  8. Nun nehme man anstelle der unter Punkt 2 getroffenen Annahme für die Präferenzen an, und für alle anderen Individuen . Dabei kann jede beliebige Alternative außer und sein. (Unbeschränkter Bereich)
     
  9. Dann gilt für das Kollektiv: . ( ist nach 1. beinahe entscheidend)
     
  10. Und es gilt für das Kollektiv: . ( Einstimmigkeit iVm 8.)
     
  11. Und es gilt für das Kollektiv: . (Transitivität iVm 9. und 10.)
     
  12. Für das Kollektiv muss unabhängig davon gelten, wie die anderen Alternativen, einschließlich , von den Individuen eingeordnet werden. (Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
     
  13. Dann gilt auch: ist beinahe entscheidend für (wobei eine beliebige Alternative außer und ist). (Definition beinahe entscheidender Mengen iVm 2., 11. und 12.)


    Damit ist gezeigt, dass wir auch den linken Term (das ) in der Aussage, dass eine entscheidende Menge für ist, durch eine beliebige dritte Alternative () ersetzen dürfen, ohne dass die Aussage falsch wird. Zusammen mit dem Resultat vom ersten Teil des Beweises bedeutet das, dass wir in der Formel und beliebig durch andere Alternativen ersetzen dürfen (siehe Übungsaufgabe 2.1.4).


    Schluss

     
  14. Aber dann ist beinahe entscheidend für alle Paare von Alternativen. (Sukzessives Ersetzen von u im 1.Teil und von u' im 2.Teil des Beweises)

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