Sei $D$ eine Menge von Individuen, die beinahe entscheidend für $x$ über $y$ ist, wobei $x$ und $y$ irgendein Paar von Alternativen ist. (Anmerkung 3.1.3.1 auf Seite 3.1.3.1)

1. Teil (Ersetzbarkeit von rechts)
Annahme: Für alle Individuen in $D$ und eine beliebige dritte Alternative $u$ gelte $x \succ y \succ u$ und für alle anderen Individuen $y \succ u \succ x$ . (Unbeschränkter Bereich)
Dann gilt für das Kollektiv: $x \succ_K y$ . ( $D$ ist nach 1. beinahe entscheidend)
Und es gilt für das Kollektiv: $y \succ_K u$ . ( Einstimmigkeit iVm 2.)
Und es gilt für das Kollektiv: $x \succ_K u$ . (Transitivität iVm 3. und 4.)
Für das Kollektiv muss $x \succ_K u$ unabhängig davon gelten, wie die anderen Alternativen, einschließlich $y$ , von den Individuen eingeordnet werden. (Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
Also ist $D$ beinahe entscheidend für $x$ über $u$ (für jedes beliebige $u$ , das nicht identisch mit $x$ oder $y$ ist). (Definition beinahe entscheidender Mengen iVm 2., 5. und 6.)

Damit ist der erste Teil des Beweises von Lemma 1 abgeschlossen. Was bis hierher bewiesen wurde ist: Wenn eine Menge $D$ für $x \succ_K y$ entscheidend ist, dann dürfen wir in dieser Formel den rechten Term (also das $y$ ) durch jede beliebige dritte Alternative ( $u$ ) ersetzen, und die Aussage stimmt immer noch. Nun wird noch gezeigt, dass das für den linken Term (also das $x$ ) ganz genauso gilt.

2. Teil (Ersetzbarkeit von links)
Nun nehme man anstelle der unter Punkt 2 getroffenen Annahme für $D$ die Präferenzen $u' \succ x \succ y$ an, und für alle anderen Individuen $y \succ u' \succ x$ . Dabei kann $u'$ jede beliebige Alternative außer $x$ und $y$ sein. (Unbeschränkter Bereich)
Dann gilt für das Kollektiv: $x \succ_K y$ . ( $D$ ist nach 1. beinahe entscheidend)
Und es gilt für das Kollektiv: $u' \succ_K x$ . ( Einstimmigkeit iVm 8.)
Und es gilt für das Kollektiv: $u' \succ_K y$ . (Transitivität iVm 9. und 10.)
Für das Kollektiv muss $u' \succ_K y$ unabhängig davon gelten, wie die anderen Alternativen, einschließlich $x$ , von den Individuen eingeordnet werden. (Unabhängigkeit von dritten Alternativen)
Dann gilt auch: $D$ ist beinahe entscheidend für $u' \succ_K y$ (wobei $u'$ eine beliebige Alternative außer $x$ und $y$ ist). (Definition beinahe entscheidender Mengen iVm 2., 11. und 12.)

Damit ist gezeigt, dass wir auch den linken Term (das $x$ ) in der Aussage, dass $D$ eine entscheidende Menge für $x \succ_K y$ ist, durch eine beliebige dritte Alternative ( $u'$ ) ersetzen dürfen, ohne dass die Aussage falsch wird. Zusammen mit dem Resultat vom ersten Teil des Beweises bedeutet das, dass wir in der Formel $x$ und $y$ beliebig durch andere Alternativen ersetzen dürfen (siehe Übungsaufgabe 3.1.4).

Schluss
Aber dann ist $D$ beinahe entscheidend für alle Paare von Alternativen. (Sukzessives Ersetzen von u im 1.Teil und von u' im 2.Teil des Beweises)