- Gegeben seien drei Individuen ,
,
und drei Alternativen , ,
. Die Präferenzen seien folgendermaßen
verteilt:
Angenommen, um die kollektive Entscheidung zu treffen, welche Alternative
gewählt werden soll, sind paarweise Stichwahlen vereinbart worden,
und ist zum Wahlleiter ernannt worden,
mit dem Recht die Reihenfolge festzulegen, in der über jeweils zwei
Alternativen abgestimmt worden ist.
- In welcher Reihenfolge sollte abstimmen
lassen, damit die von bevorzugte
Alternative mit Sicherheit gewinnt?
- Angenommen, bemerkt s
Plan. Kann durch „strategisches
Wählen“ den Plan von durchkreuzen?
Wenn ja, wie?
- Verständnisfrage: Was ist der Unterschied zwischen der „kollektiven
Präferenz“ und der „Präferenz aller Indivduen“? (Zusatzfrage
für philosophiehistorisch Gebildete: Wie verhält sich diese Unterscheidung
zu der von Rousseau zwischen „volonté générale“ und „volonté
de tous“ ?)
- Bei den Beweisen des „Paradox
des Liberalismus“und des „Satzes von Arrow“ wurde
jeweils die schwache Pareto-Bedingung vorausgesetzt. Erkläre, warum
sich die Beweise trotzdem genauso führen lassen, wenn man nur die starke
Paretobedinung voraussetzt: Wenn kein Individuum eine bestimmte
Alternative einer bestimmten anderen Alternative nachordnet, aber mindest
ein Individuum sie vorzieht, dann sollte diese Alternative auch in
der kollektiven Wahl bevorzugt werden.
- Zeige, dass die Gültigkeit des Beweises
des „Paradox des Liberalismus“ (Abschnitt 3.1.2
auf Seite 3.1.2ff.)
nicht davon abhängt, über welche Alternativen man den beiden Individuen
und
ihre Prärogative einräumt.
- Zeige: Wenn umgekehrt zuerst die Präferenzen
der Individuen festgelegt werden, und erst danach die Prärogative zugewiesen
wird, dann ist es immer möglich Prärogativen zu finden, so dass die
Konstruktion einer kollektiven Entscheidungsfunktion für zwei Individuen
und drei Alternativen doch möglich wird.
- Gegeben seien die beiden Präferenzprofile
, :
| Individuum A | Individuum B | Individuum C |
Profil | | | |
Profil | | | |
|
und die Sozialwahlfunktionen ,
, ,
, ,
:
| Profil | Profil |
Swf | | |
Swf | | |
Swf | | |
Swf | | |
Swf | | |
Swf | | |
|
Aufaben:
- Welche dieser Sozialwahlfunktionen erfüllt die Bedingung der Unabhängigkeit
von irrelevanten Alternativen, welche nicht?
- Was ändert sich daran, wenn man Individuum C streicht?
- Beweise:
- Eine Sozialwahlfunktion, die jedem Präferenzprofil dieselbe „soziale
Wahl“ zuweist, ist immer mit der Bedingung der Unabhängigkeit
von irrelevanten Alternativen vereinbar.
- Eine Sozialwahlfunktion, die jedem Präferenprofil die Präferenzordnung
ein- und desselben Individuums aus dem Profil zuordnet, ist immer mit
der Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen
vereinbar.
- Zeige, wie man durch sukzessives Ersetzen
des rechten und des linken Terms in der Aussage: „
ist entscheidend für über “
die umgekehrte Aussage: „ ist
entscheidend für über “
ableiten kann. Wieviele Alternativen außer
und benötigt man dafür mindestens
bzw. höchstens?
- Obsolet! Es gelte: a) Für ein gegebenes
und jedes beliebiege sei
entscheidend für . Und b)
Für ein gegebenes und ein beliebiges
sei
weiterhin entscheidend für .
Zeige, dass dann gilt: ist entscheidend
für jedes beliebige Paar ,
und zwar sowohl als auch
.
- Warum kann man sich bei bei Lemma 1 des ersten Beweises des Satzes
von Arrow nicht auf die Betrachtung des 1. Teils: „Ersetzbarkeit
von rechts“ (Seite )
beschränken und dann den Beweis analog zu Schritt 8. von Lemma 3 (Seite
) abkürzen?
- Erkläre, warum ist das Resultat, dass das „zentrale Individuum“
Diktator über und
ist, am Ende von Teil 2 des alternativen Beweises (Abschnitt 3.1.3.3,
Seite 3.1.3.3ff.)
unabhängig von der Reihenfolge, in der die Individuen beim „Übergang“
(Teil 1 des Beweises) durchgezählt werden?
- Warum kann man am Ende von Teil 1 des zweiten Beweises (Abschnitt 3.1.3.3,
Seite 3.1.3.3ff.)
nicht sagen, dass das „zentrale Individuum“ entscheidend
für über
(oder eine bliebige andere Alternative ist)?
Zusatzfrage: Könnte man am Ende von Teil 1 sagen, dass die Menge aller
Individuen bis zum „zentralen Individuum“, beinahe entscheidend
für über
(oder anstelle von für irgend eine
andere Alternative außer ) ist?
schwere Aufgaben:
- Führe den Beweis von Lemma 1 für vollständig
entscheidende statt bloß beinahe entscheidende Mengen.
- Warum lässt sich der Beweis von Lemma
2 nicht auf dieselbe Weise für vollständig entscheidende statt bloß
für entscheidende Mengen führen?[37] (Daraus
ergibt sich, warum die Einführung des - zunächst vielleicht ewtas kontraintuitiven
- Begriffes der beinahe entscheidenden Mengen sinnvoll ist.)
- Warum ist bei Teil 2 des zweiten Beweises
bei Punkt auf Seite
der Hinweis „Beschränkt
man die Betrachtung auf alle Alternativen “
notwendig?
(Zusatzfrage: Warum gilt die Erkenntnis, dass ,
dann trotzdem ohne Einschränkung für alle Alternativen?)
für Interessierte:
- Wieviele Individuuen und wieviele Alternativen muss es mindestens geben,
damit der Satz von Arrow gilt?
- Angenommen, es gibt Individuen und
Alternativen stehen zur Debatte.
- Wieviele mögliche Präferenzordnungen kann ein Individuum haben?
- Wieviele mögliche Präferenzordnungen kann das Kollektiv haben?
- Wieviele mögliche Präferenzprofile gibt es?
- Wieviele mögliche Sozialwahlfunktionen gibt es?
- Bei dem Beweis des Satzes von Arrow (Seite 3.1.3.2ff.)
sind wir immer von strikter Bevorzugung
ausgegangen. Was ist in diesem Zusammenhang zur Möglichkeit der Indifferenz
zwischen Alternativen zu sagen?
- Finde einen einfacheren Beweis für Lemma 3?
- Kann man aus den drei alternativen Beweisen einen einzigen zusammenbauen,
der kürzer und eleganter ist als alle drei?