Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I |
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Soeben wurde gezeigt, wie man mit Hilfe des Erwartungsnutzens auf einfache Weise Entscheidungsprobleme lösen kann. Zugleich wurde behauptet, dass der Ewartungsnutzen bei Entscheidungen unter Risiko im Grunde die einzig sinnvolle Entscheidungsregel darstellt. Aber warum ist das so?
Eine Antwort auf diese Frage ist die, dass man, wenn man bei Entscheidungen unter Risiko den Erwartungsnutzen zu Grunde legt, auf lange Sicht den größten Gewinn erzielen kann.[19] Um sich das klar zu machen nehme man eine Entscheidungssituation an, in der man entweder einen festen Geldbetrag erhalten kann, oder mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit einen höheren Geldbetrag. Z.B. könnte eine Person vor der Entscheidung stehen, ob sie mit 5 € Einsatz an einer Lotterie teilnehmen will, bei der sie mit 3% Wahrscheinlichkeit 100 € gewinnen kann, oder ob sie das Geld lieber behält. Behält sie das Geld, so entspricht das einem sicheren Gewinn von 5€. Wird diese Entscheidungssituation viele Male wiederholt, dann besagt das Gesetz der Großen Zahlen aus der Statistik, dass der Grenzwert der Häufigkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis eintritt (in diesem Fall der Gewinn der Lotterie) mit der Wahrscheinlichkeit 1 (also „praktisch immer“) der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses entspricht. Handelt es sich bei der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses um eine empirisch-statistische Wahrscheinlichkeit und legt man die Häufigkeitstheorie der Wahrscheinlichkeit zu Grunde (siehe Kapitel 4.2.1.2), so gilt sogar, dass der Grenzwert der Häufigkeit mit Sicherheit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses entspricht.[20] Einfach ausgedrückt bedeutet dies: Wir können bei hinreichend häufiger Wiederholung getrost davon ausgehen, dass das Ereignis genau so oft eintritt, wie es seiner Wahrscheinlichkeit entspricht. In diesem Fall hieße das, dass drei Prozent der Lotterien gewonnen werden. Bei einem Gewinn von 100 € wird man auf lange Sicht 3 € pro Lotterie eingenommen haben, was genau dem Erwartungswert der Lotterie € entspricht. Damit ist die Lotterie aber deutlich weniger wert als der Einsatz von 5 €. Zumindest auf lange Sicht sollte man immer den Erwartungswert (gleich Wahrscheinlichkeit mal erwarteter Wert) für die Bewertung von Zufallsereignissen zu Grunde legen. Oder, anders gesagt, man soll Zufallsereignisse weder zu optimistisch noch zu pessimistisch bewerten, sondern genau entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeit.
Dieselbe Argumentation lässt sich auch auf beliebige kardinale Nutzenwerte übertragen, sofern man die Geldwerte durch Nutzenwerte ersetzt und statt des Erwartungswertes mit dem Erwartungsnutzen rechnet.
Die Argumentation weist zwei Schwierigkeiten auf: Erstens gilt sie nur auf lange Sicht, und es stellt sich zumindest die Frage, ob man das, was auf lange Sicht gilt, auch auf einzelne Zufallsereignisse, die sich in derselben Form nicht wiederholen, übertragen darf. Zweitens lässt sie sich - wie schon erwähnt - nur bei kardinalen Nutzenwerten anwenden, da wir sonst den Erwartungsnutzen nicht einmal bestimmen können. Für beide Probleme versucht die Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie eine Lösung anzubieten. Für das erste Problem, indem sie zeigt, dass der Erwartungsnutzen aus bestimmten Konsistenzbedingungen hervorgeht, die verletzt werden, wenn man ihn nicht richtig als das Produkt aus erwartetem Nutzen und Wahrscheinlichkeit berechnet - ähnlich wie subjektive Wahrscheinlichkeiten inkonsistent werden, sobald man die Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung verletzt (siehe 4.2.2). Für das zweite Problem, indem sie aus einer beliebigen Präferenzrelation - die aber reich genug sein muss, um auch gedachte Güter von der Form sogenannter „Lotterien“ zu enthalten! - durch trickreiche Vergleiche eine kardinale Nutzenfunktion konstruiert. Diese Theorie werden wir später im Semester noch ausführlich besprechen (Kapitel 5.1).
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[19] Auch hier gibt es natürlich diskussionsbedürftige Grenz- und Zweifelsfälle, wie z.B. (Okasha 2007) vor Augen führt.
[20] „Mit Sicherheit“ und „mit Wahrscheinlichkeit 1“ ist nicht, wie man denken könnte, ein- und dasselbe. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unendliche Folge von Münzwürfen nicht jedes mal Kopf liefert befträgt 1. Trotzdem ist diese Ereignis nicht absolut sicher, denn das inverse Ereignis, dass eine unendliche Folge von Münzwürden jedesmal Kopf liefert, ist immerhin möglich.
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