Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
    1.1 Entscheidungstabellen und -bäume
    1.2 Entscheidungen unter Unwissenheit I
    1.3 Entscheidungen unter Unwissenheit II
        1.3.1 Die Minimax-Bedauerns-Regel
        1.3.2 Kardinaler Nutzen
        1.3.3 Weitere Entscheidungsregeln auf Basis des kardinalen Nutzens
            1.3.3.1 Die Optimismus-Pessimismus Regel
            1.3.3.2 Das Prinzip der Indifferenz
            1.3.3.3 Paradoxien des Indifferenzprinzips
        1.3.4 Aufgaben
    1.4 Entscheidungen unter Risiko
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

1.3.3.3 Paradoxien des Indifferenzprinzips

Einwände gegen das Indifferenzprinzip werden häufig daraus abgeleitet, dass sich bei der Anwendung des Prinzips unter bestimmten Bedingungen Paradoxien ergeben. Was es damit auf sich hat, und ob diese Paradoxien ein Problem bei der Anwendung des Indifferenzprinzips bei den hier besprochenen Entscheidungen unter Unwissenheit darstellen, soll nun kurz erörtert werden.[17] Um diese Paradoxien zu erläutern, muss schon ein wenig auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgegriffen werden (Kapitel 3.1.1.1). Es genügt allerdings zu wissen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses immer eine reelle Zahl von 0 bis 1 ist, und dass sich die Wahrscheinlichkeiten einer Reihe von Alternativen, die einander ausschließen, von denen aber irgendeine auf jeden Fall eintreten muss, zu 1 aufaddieren, und dass man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses üblicherweise mit darstellt.

Buch-Paradox: Das erste Paradoxon entsteht folgendermaßen: In der Uni-Bibliothek steht eine Ausgabe von Schopenhauers „Die Welt als Wille und Vorstellung“. Wenn jemand noch nicht in der Bibliothek war, dann weiß sie oder er nicht, ob das Buch einen blauen oder keinen blauen Umschlag hat. Nach dem Indifferenzprinzip müsste die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Buch einen blauen Umschlag hat also 1/2 betragen. Aber mit genau demselben Argument kann gefolgert werden, dass , , etc. alle den Wert 1/2 haben. Damit haben wir eine Reihe von sich wechselseitig ausschließenden Alternativen, deren Wahrscheinlichkeiten sich auf eine Zahl größer 1 aufaddieren, was wiederum der Definition der Wahrscheinlichkeit widerspricht (Gillies 2000, S. 37f.).

Wie könnte man das Paradox lösen? Denkbar wäre folgender Lösungsansatz: Wahrscheinlichkeiten dürfen nur unteilbaren Elementar-ereignissen zugewiesen werden. Soll heißen: Bevor man das Prinzip der Indifferenz anwendet ist zunächst sicherzustellen, dass sämtliche Ereignisse, auf die man es anwendet (vorbehaltlich unseres Wissens darüber) unteilbare Elementarereignisse sind. Im Fall des Buch-Paradoxons ist das Ereignis „nicht blau“ offenbar kein Elementarereignis, da wir wissen, dass noch andere Farben in Frage kommen. Nun stellt sich aber das weitere Problem, dass wir gar nicht wissen, wie viele andere Farben in Frage kommen. Der Lösungsansatz beinhaltet also, dass wir das Indifferenzprinzip überhaupt nur dann anwenden können, wenn wir zumindest die Menge der Elementarereignisse kennen. Ist das aber der Fall, so hilft uns das Indifferenzprinzip immerhin noch dabei, diesen Elementarereignissen in sinnvoller Weise Wahrscheinlichkeiten zuzuweisen, wenn uns deren objektive Wahrscheinlichkeiten unbekannt sind.

Wasser-Wein-Paradox: Leider funktioniert dieser Lösungsansatz nicht mehr bei den sogennanten „geometrischen Wahrscheinlichkeiten“, bei denen wir es statt mit diskreten (d.h. zählbaren) mit kontinuierlichen Größen zu tun haben, wie uns das Wasser-Wein-Paradox vor Augen führt. Bei diesem Paradox geht es um Folgendes (Howson 2000, p. 84): Angenommen wir haben eine Mischung von Wasser und Wein, von der wir wissen, dass das Verhältnis von Wasser zu Wein bei dieser Mischung irgendwo zwischen „halbe-halbe“ und „doppelt soviel Wasser wie Wein“ liegt. Die unbekannte Menge des Wassers liegt bezogen auf die gegebene Menge von Wein also irgendwo zwischen und (die Grenzen eingeschlossen). Und umgekehrt liegt der Mengenanteil des Weins im Verhältnis zum Wasser irgendwo zwischen und . Nach dem Indifferenzprinzip sollte die Wahrscheinlichkeit, dass die Wassermenge zwischen und liegt, sicherlich genauso groß sein, wie die Wahrscheinlichekit, dass sie zwischen und liegt, also jeweils . Da der Weinanteil genau im umgekehrten Verhältnis zum Wasseranteil steht, also , so ergibt sich daraus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen und bzw. zwischen und liegt, ebenfalls jeweils betragen muss. Das ist aber mit dem Prinzip der Indifferenz unvereinbar, das ja fordert, dass die Wahrscheinlichkeit für gleich große Intervalle gleich groß sein muss.

Die Lösung dieses Paradoxons ist deshalb schwieriger als die des Buch-Paradoxons, weil die beiden Größen, die hier involviert sind, die relative Menge des Wassers und die relative Menge des Weins sich anders als „blau“ und „nicht blau“ vollkommen symmetrisch verhalten. Trotzdem ist eine Lösung denkbar, indem man die relativen Mengenangaben durch absolute Mengenangaben ersetzt. Beziehen wir die Wein- und die Wassermenge auf eine konstante Grundmenge von 6 Mengeneinheiten, dann liegt die Weinmenge zwischen 2 und 3 Mengeneinheiten und die Wassermenge zwischen 3 und 4 Mengeneinheiten. Die Schwankungsbreite betrifft dann sowohl für Wein als auch für Wasser ein Intervall von genau einer Mengeneinheit, so dass die Anwendung des Indifferenzprinzips wahlweise auf Wein oder auf Wasser zu keinen Widersprüchen mehr führen kann.

Diese Lösung des Paradoxons setzt allerdings ebenso wie die vorhergehende ein ontologisches Wissen über die Situation voraus, in der wir das Indifferenzprinzip anwenden. Dieses Wissen geht über die bloße Kenntnis der Anzahl der involvierten Parameter (zwei, nämlich und ), ihres möglichen Wertebereichs (, ) und ihrer wechselseitigen Beziehung hinaus. Insofern ist die gefundene Lösung nicht mathematisch verallgemeinerbar. Wenn wir nur die rein mathematischen Beziehungen zwischen den beteiligten Größen betrachten, dann stehen wir - etwas vereinfacht betrachtet - vor dem Problem, dass wir das Prinzip der Indifferenz nicht gleichzeitig auf das Intervall anwenden können (indem wir gleichgroßen Teilintervallen gleichgroße Wahrscheinlichkeiten zuweisen) und auf das Intervall . Haben wir das Prinzip der Indifferenz schon auf das erste Intervall angewendet, dann haben wir automatisch eine Entscheidung damit getroffen, es nicht auf das zweite Intervall anzuwenden und umgekehrt. Rein mathematisch betrachtet, können wir aber gar nicht unterscheiden, ob und oder ob und die Basisgrößen sind, von denen wir auszugehen haben.[18] Und auch empirische Größen bieten dafür nicht zwangsläufig hinreichende Anhaltspunkte. Man denke etwa an Lichtwellen, die wir durch ihre Wellenlänge oder ihre Frequenz angeben können, wobei beide in dem Verhältnis zueinander stehen, ohne dass man eine der beiden Angaben in irgendeiner Weise als privilegiert auszeichnen könnte. Das bedeutet aber, dass wir das Indifferenzprinzip ohne die Gefahr eines Paradoxons nur heranziehen können, wenn die Anwendungssituation das zulässt und wir über ein ausreichendes Hintergrundwissen darüber verfügen. Bei völligem Unwissen hilft es nicht weiter.

Inwiefern sind die hier besprochenen Paradoxien ein Problem für die Anwendung des Indifferenzprinzips auf Entscheidungen unter Unwissenheit? Hier sind zwei Situationen zu unterscheiden:

  1. Wir verfügen über ein hinreichendes Hintergrundwissen der Situation, dass es uns erlaubt, das Indifferenzprinzip eindeutig auf die Situation anzuwenden. (Z.B. müssten wir beim Buch-Paradoxon die Menge der in Frage kommenden Farben kennen.) Dann dürfen wir das Indifferenzprinzip anwenden, sollten uns aber bewusst sein, dass die Annahme jeder anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung als der Gleichverteilung genauso legitim wäre. Aber wir könnten wenigstens sicher sein, dass die Anwendung dieses Prinzips nicht zu Entscheidungsempfehlungen führt, die sich in kontingenter Weise wandeln, wenn wir die Zustandsbeschreibungen durch äquivalente andere Zustandsbeschreibungen austauschen.
     
  2. Wir verfügen nicht über ein entsprechendes Hintergrundwissen. Dann können wir das Prinzip nicht anwenden, denn es liefert für dieselbe Entscheidungssituation widersprechende Empfehlungen.

[17] Neuerlich hat Rudolfo Cristofaro den Anspruch erhoben, das Indifferenzprinzip in einer Form gefasst zu haben, in der keine Paradoxien mehr entstehen (Cristofaro 2008). Er geht nicht unmittelbar darauf ein, wie mit seiner Neuformulierung des Prinzips die Paradoxien umgangen werden. Seine Ausführungen legen die Vermutung nahe, dass dies nur dadurch ermöglicht wird, dass er verlangt, dass die Informationen über das „experimentelle Design“ mit in die Situationsbeschreibung einfließen müssen. Eine rein logische Rechtfertigung des Indifferenzprinzips wäre damit nicht gegeben. Seine Lösung ginge dann - bis evtl. auf die allgemeinere Formulierung - nicht fundamental über bestehende Lösungen hinaus.

[18] Man kann das Problem nicht durch dern Vorschlag lösen, dass man die Entscheidung zwischen den beiden Alternativen und mangels besserem Wissen nach belieben treffen darf, denn da statt jede beliebige mathematische Transformation stehen könnte, hieße dies, dass man bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung von jede beliebige Wahl treffen darf, was aber gerade das Gegenteil dessen ist, was mit dem Prinzip der Indifferenz beabsichtigt wird!

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