Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Inhalt

8.1.1.3 Entscheidungen unter Risiko

1. In Amerika ist eine Grippewelle ausgebrochen. Experten rechnen damit, dass die Grippewelle mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% auch Deutschland erreicht. Wenn sie Deutschland erreicht, dann erkrankt ein Anteil von 15% der Bevölkerung. Wird die Grippe nicht behandelt, so sterben 3% der Erkrankten.

   Die Gesundheitsministerin erwägt nun, ein breit angelegtes Impfprogramm für die gesamte Bevölkerung durchführen zu lassen. Wird die Impfung frühzeitig verabreicht, so senkt sie das Erkrankungsrisiko auf 2%. Allerdings ist die Impfung nicht ganz ohne Risiko, denn es kommt - geheim gehaltenen Zahlen zufolge - bei 0.2% der geimpften Personen zu schweren Komplikationen, die zum Tod führen.

   Wenn die Grippe bereits ausgebrochen ist, kann die Gesundheitsministerin immer noch die Entscheidung treffen, eine Impfung durchführen zu lassen, falls das nicht schon vorher geschehen ist. Allerdings ist die Impfung zu diesem späteren Zeitpunkt nicht mehr so effektiv. Sie senkt das Erkrankungsrisiko dann nur noch auf 10% bei gleichem Risiko von Komplikationen.

   Aufgaben:

   1. Stelle das Entscheidungsproblem als Entscheidungsbaum dar.
       
   2. Sollte die Gesundheitsministerin eine frühzeitige Durchführung des Impfprogramms anstreben?
       
   3. Angenommen es hätte im Vorfeld eine öffentliche Diskussion über die Risiken des Impfprogramms gegeben, so dass die Durchführung des Impfprogramms zu einem frühen Zeitpunkt, als noch nicht klar war, ob sie Deutschland überhaupt erreicht, politisch nicht durchsetzbar war. Angenommen weiterhin, die Grippewelle hat Deutschland schließlich dennoch erreicht und der Ruf nach einer schleunigen Massenimpfung wird laut. Sollte die Gesundheitsministerin jetzt doch noch das Impfprogramm durchführen?
   
    
2. Für eine auf einer Menge von Lotterien definierte Präferenzrelation gilt neben den üblichen Ordnungsgesetzen von Präferenzrelationen u.a.:
   1. Bedingung der höheren Gewinne: Für beliebige Lotterien $x$,$y$ und $L^*$ und jede beliebige Wahrscheinlichkeit $a$ gilt:
      1. $L^* \succ x$ genau dann wenn $L(a, L^*, y) \succ L(a, x, y)$.
          
      2. $L^* \succ y$ genau dann wenn $L(a, x, L^*) \succ L(a, x, y)$.
      
       
   2. Reduzierbarkeit zusammengesetzter Lotterien: Für jede zusammengesetzte Lotterie der Form $L(a, L(b,x,y), L(c,x,y))$ gilt $L(a, L(b,x,y), L(c,x,y)) \sim L(d,x,y)$ mit $d:=ab+(1-a)c$.

   Zeige allein mit Hilfe dieser beiden Bedingungen (und der Ordnungsgesetze für Präferenzrelationen):

   1. Es kann nicht gelten: $L(a,x,x) \succ x$
       
   2. Es kann nicht gelten: $x \succ L(a,x,x)$
   
    
3. Nimm weiterhin folgende Bedingungen als gegeben an (ergibt sich aus der vorhergehenden Aufgabe): Für alle Wahrscheinlichkeiten $a$ und alle Lotterien $x$ gilt: $L(a,x,x) \sim x$

   Zeige allein mit dieser und den Bedingungen aus der vorhergehenden Aufgabe: Wenn $B$ ein bestes Grundgut ist, dann kann es keine Lotterie $L(a, x, y)$ geben für die gilt: $L(a, x, y) \succ B$

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