Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Inhalt

8.1.1.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Ein Patient, der kürzlich einen Urlaub in Zentralafrika verbracht hat, wird mit Verdacht auf Malaria in die Klinik eingeliefert. Es ist bekannt, dass etwa bei 0.5% derartiger Verdachtsfälle tatsächlich eine Malariaerkrankung auftritt. Die behandelnde Ärztin führt zunächst einen Antigen-Schnelltest durch. Dieser Schnelltest hat eine positiv-positiv Rate von 80% und eine positiv-negativ Rate von 0.01%. Der Test fällt negativ aus.

   Da der Schnelltest nicht besonders sensitiv ist (wie man an der niedrigen positiv-positiv Rate sieht), führt die Ärztin noch einen zweiten Test auf Basis einer Polymerase-Kettenreaktion durch. Dieser Test, der mit einer positiv-positiv Rate von 99,5% und einer positiv-negativ Rate von 0.3% sehr viel zuverlässiger ist, fällt positiv aus.

   Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss die Ärztin davon ausgehen, dass der Patient an Malaria erkrankt ist?

    
2. Die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit wird wie folgt definiert:
   1. Es gibt eine endliche Menge von Elementarereignissen: $\Omega$. (Beispiel: Beim Würfeln $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$)
       
   2. Jedes Ereignis ist durch eine Menge $E$ charakterisiert, die Teilmenge von $\Omega$ ist: $E \subseteq \Omega$. (Beispiel: Das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln, wird durch die Menge $E=\{2,4,6\}$ beschrieben.)
       
   3. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist definiert als die Anzahl der Elemente der Ereignismenge („günstige Fälle“) geteilt durch die Anzahl der Elementarereignisse („mögliche Fälle“). Wenn $|M|$ die Anzahl der Elemente der Menge $M$ beschreibt, dann ist die Wahrscheinlichkeit $p$ also definiert durch: $p(E) := \frac{|E|}{|\Omega|}$.

   Beweise, dass die Laplac'sche Wahrscheinlichkeit die kolmogorowschen Axiome erfüllt:

   1. Axiom: $\forall_{E \subset \Omega} \qquad p(E) \in \mathbb{R} \qquad \mbox{und} \qquad p(E) \geq 0$
       
   2. Axiom: $p(\Omega) = 1$
       
   3. Axiom: $\forall_{E,F \subset \Omega} \qquad E \cap F \neq \emptyset \Rightarrow p(E \cup F) = p(E) + p(F)$
   
    
3. Zeige, dass aus den drei kolmogorwschen Axiomen, die Monotonie von Wahrscheinlichkeiten folgt:
   
   $\forall_{E,F \subset \Omega} \qquad E \subset F \Rightarrow p(E) \leq p(F)$
   
   

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