Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Inhalt

6.1.2.2 Gemischte Strategien und gemischte Gleichgewichte

Als reine Strategien bezeichnet man Strategien, bei denen die Auswahl der Züge eindeutig durch die Strategie festgelegt ist und nicht zufällig vorgenommen wird. Umgekehrt bezeichnet man als gemischte Strategien solche Strategien bei denen zwischen reinen Strategien randomisiert wird. (Was dasselbe ist, als wenn man sagen würde, dass innerhalb der Strategie zwischen alternativen Zügen randomisiert wird.) Ein gemischtes Gleichgewicht ist dementsprechend ein Gleichgewicht, in dem mindestens zwei gemischte Strategien vorkommen. (Bei einem 2-Personen Spiel heißt dies, dass das Gleichgewicht nur aus gemischten Strategien bestehen darf.)

Ein einfaches Beispiel für ein gemischtes Gleichgewicht liefert das „Passende Münzen“-Spiel:

Bei diesem Spiel hat jede reine Strategie, die ein Spieler spielt, den Erwartungswert -1. Der Erwartungswert einer Strategie ist diejenige Auszahlung, die ein Spieler erhält, wenn der Gegenspieler seine beste Antwort auf die Strategie spielt. (Der Erwartungswert von Strategien in der Spieltheorie ist also nicht zu verwechseln mit dem Erwartungswert in der Entscheidungstheorie!)

Wenn Spieler 1 aber mit einer 50% Wahrscheinlichkeit über beide reinen Strategien randomisiert, dann hat seine gemischte Strategie (50% Kopf, 50% Zahl) einen Erwartungswert von 0, da er - ganz gleich, welche reine oder gemischte Strategie der andere Spieler spielt - immer in der Hälfte der möglichen Fälle eine Auszahlung von 1 und in der anderen Hälfte der Fälle eine Auszahlung von -1 bekommt. Den Erwartungswert von 0 erhält Spieler 1 aber tatsächlich nur, wenn er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 zwischen seinen Strategien wählt. Würde er eine andere Wahrscheinlichkeit wählen, so würde sein Mitspieler diejenige Strategie wählen, die die beste Antwort auf die von Spieler 1 häufiger gewählte reine Strategie wäre. Wenn Spieler 1 also z.B. (60% Kopf, 40% Zahl) spielt, dann würde Spieler 2 am erfolgreichsten sein, wenn er immer Zahl spielte.

Wie kann man aber generell das gemischte Gleichgewicht berechnen, sofern eins vorhanden ist? Im einfachsten Fall, d.h. bei 2-Personen Spielen mit jeweils zwei Handlungsoptionen, sieht die Tabelle folgendermaßen aus:

Bei Nullsummenspielen gilt natürlich immer: $A_z = A_s$,$B_z = B_s$,$C_z = C_s$, $D_z = D_s$. Aber darauf werden wir bei der Bestimmung des gemischten Gleichgewichts nicht zurückgreifen, so dass der folgende Ansatz für alle einfachen 2-Personen Spiele mit zwei Handlungsoptionen tauglich ist.

Wie aus den Überlegungen zum „Passende Münzen“-Spiel bereits deutlich geworden ist, kann eine gemischte Strategie nur dann eine Gleichgewichtsstrategie sein, wenn der Gegenspieler indifferent ist, mit welcher seiner beiden reinen Strategien er die gemischte Strategie „beantworten“ soll. Wäre er nämlich nicht indifferent, dann würde er diejenige reine Strategie wählen, die die bessere Antwort ist. Darauf würde der erste Spieler wiederum mit einer reinen Strategie antworten können, die mindestens so gut ist wie seine gemischte Strategie. Ein gemischtes Gleichgewicht könnte dann nur noch in dem Sonderfall vorliegen, in dem er indifferent zwischen seinen reinen und gemischten Strategien ist. (Siehe dazu die entsprechende Übungsaufgabe zur nächsten Vorlesung auf Seite 6.2.5) Im Normallfall kommt ein gemischtes Gleichgewicht im 2-Personen Spiel mit zwei Handlungsoptionen also nur in der Form vor, in der beide Spieler eine gemischte Strategie spielen.

Wenn wir also bestimmen wollen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Zeilenspieler im gemischten Gleichgewicht über seine reinen Strategien randomisieren muss, dann müssen wir die Rechnung für Erwartungswerte des Spaltenspielers aufstellen. Die Erwartungswerte des Spaltenspielers hängen nämlich von der Wahrscheinlichkeit ab, mit der der Zeilenspieler randomisiert.

Die Erwartungswerte des Spaltenspielers bezüglich der gemischten Strategie des Zeilenspielers berechnen sich nach:

$EW_{S1} = p \cdot A_s + (1-p) \cdot C_s$



$EW_{S2} = p \cdot B_s + (1-p) \cdot D_s$

Da beide Werte gleich sein müssen, können wir die Gleichung aufstellen:

$p \cdot A_s + (1-p) \cdot C_s = p \cdot B_s + (1-p) \cdot D_s$

Die Lösung dieser Gleichung liefert uns das gesuchte Randomisierungsgewicht $p$.

Um das Randomisierungsgewicht des Spaltenspielers $q$ zu berechnen, müssen wir umgekehrt die Erwartungswerte der reinen Strategien des Zeilenspielers bestimmem:

$EW_{Z1} = q \cdot A_z + (1-q) \cdot B_z$



$EW_{Z2} = q \cdot C_z + (1-q) \cdot D_z$

Daraus ergibt sich die Gleichung:

$q \cdot A_z + (1-q) \cdot B_z = q \cdot C_z + (1-q) \cdot D_z$

Sofern die beiden Gleichungen lösbar sind und für $p$ und $q$ bestimmte Werte zwischen 0 und 1 liefern, lautet das gemischte Gleichgewicht:

$( (p,Z_1; 1-p,Z_2), (q,S_1; 1-q,S_2) )$

Da bei 2-Personen Spielen mit zwei Handlungsoptionen aber klar ist, zwischen welchen Strategien randomisiert wird, würde es bereits genügen, die beiden Wahrscheinlichkeiten für den Zeilen- und Spaltenspieler $p$ und $q$ anzugeben, um das gemischte Gleichgewicht genau zu spezifizieren.

t g+ f @