Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
    5.1 Spieltheorie I: Einführung
        5.1.1 Was „Spiele“ im Sinne der Spieltheorie sind
        5.1.2 Nullsummenspiele
            5.1.2.1 Das Nash-Gleichgewicht
            5.1.2.2 Gemischte Strategien und gemischte Gleichgewichte
        5.1.3 Aufgaben
    5.2 Spieltheorie II: Vertiefung und Anwendung
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

5.1.2 Nullsummenspiele

Nullsummenspiele sind Spiele, bei denen die Summe der Gewinne und Verluste aller Spieler immer gleich 0 ist. Das Schachspiel ist ein Nullsummenspiel, das Knobelspiel ist ebenfalls ein Nullsummenspiel. Die Tatsache, dass bei Nullsummenspielen der Gewinn des einen immer der Verlust des anderen ist, erlaubt bei 2-Personen Nullsummenspielen eine nochmals vereinfachte Darstellung: Man gibt in der Spieltabelle nicht mehr die Gewinne und Verluste der beiden Spieler durch Kommata getrennt nebeneinander an, sondern man trägt nur noch die Gewinne des Zeilenspielers ein. Die Gewinne des Spaltenspielers sind dann der entsprechende negative Wert. Man kann die Situation auch so auffassen, dass der Zeilenspieler die Werte innerhalb der Tabelle immer maximieren will, der Spaltenspieler sie aber immer minimieren will. Eine Spieltabelle könnte dann folgendermaßen aussehen:

0 1 7 7
4 1 2 10
3 1 0 25
0 0 7 10

Quelle: Resnik, Choices, S.128 (Resnik 1987)

Dieses Spiel lässt sich nicht unmittelbar durch Dominanzüberlegungen lösen. Allerdings kann man es ebenso wie schon in der Entscheidungstheorie durch sukzessive Dominanz lösen. So wird die Strategie des Spaltenspielers offensichtlich von allen anderen Alternativen dominiert, denn er möchte die Auszahlungen für den Zeilenspieler, die seine Verluste sind, ja möglichist minimieren. Da die Strategie also nicht in Frage kommt können wir sie streichen. Ist die Strategie aber erst einmal gestrichen, dann wird bezüglich der verbleibenden Möglichkeiten die Strategie dominiert (nämlich von ) und kann ebenfalls gestrichen werden usf. Als Ergebnis bleibt das Strategiepaar (, ) übrig (Übungsaufgabe). Dieses Strategiepaar bildet die Lösung des Spiels nach Dominanz. Die Auszahlung, die ein Spieler erhält, wenn beide Spieler die Lösungsstrategie spielen, wird auch der Wert des Spiels für den entsprechenden Spieler genannt. In diesem Beispiel ist der Wert des Spiels für den Zeilenspieler 1 und für den Spaltenspieler -1.

Allgemein hat eine Lösung eines Spiels immer die Form eines Tupels von Strategien, das für jeden Spieler eine Strategie erhält. Je nach Lösungsverfahren kann keine, eine oder mehrere Lösungen geben. Der Wert des Spiels kann bei mehreren Lösungen von Lösung zu Lösung variieren. In diesem Fall kann man sinnvollerweise von dem „maximalen“ oder auch „optimalen“ Wert eines Spiels für einen Spieler sprechen.

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