Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Inhalt

6.2.5 Aufgaben

1. Stellen Sie das Vertrauensspiel als Tabelle dar.
    
2. Zeige: Im 2-Personen Hirschjagdspiel gibt es kein gemischtes Gleichgewicht:

   	Hirsch	Hase
   Hirsch	5, 5	0,2
   Hase	2,0	2,2

   
    
3. Zeige, dass im 2-Personen Spiel mit zwei Handlungsoptionen gilt:
   1. Die beste Antwort auf eine reine Strategie ist immer eine reine Strategie, sofern zwischen den möglichen Antworten in reinen Strategien nicht Indifferenz herrscht.
       
   2. Sei $(Z; S)$ ein Gleichgewicht der Strategien $Z$ und $S$, und sei $Z$ eine gemischte Strategie, dann muss auch $S$ eine gemischte Strategie sein, es sei denn Spieler 1 () ist indifferent zwischen seinen möglichen reinen Antwortstrategien.
       
   3. Sei $(Z; S)$ ein Gleichgewicht und $Z$ eine gemischte Strategie, aber $S$ eine reine Strategie, dann ist auch $(x; S)$ ein Gleichgewicht für jede beliebige reine oder gemischte Strategie $x$.
       
   4. Gib ein Beispiel in Form einer Spielmatrix für den vorhergehenden Fall an.
   
    
4. Berechne das gemischte Gleichgewicht im Angsthasenspiel:

   	Ausweichen	Gas geben
   Ausweichen	0, 0	-5,5
   Gas geben	5,-5	-100,-100

   Zusatzfrage: Wie wirkt es sich auf die Gleichgewichte aus, wenn man das Angsthasenspiel folgendermaßen abändert?

   	Ausweichen	Gas geben
   Ausweichen	0, 0	-5,5
   Gas geben	5,-5	$-\infty$,$-\infty$

   
    
5. Zeige: Im wiederholten Gefangenendilemma mit den Parametern T,R,P,S = 5,3,1,0 beträgt die zu erwartende Auszahlung von TitForTat gegen die Strategie Random 2.25.
    
6. Welche Strategie ist im wiederholten Gefangenendilemma die beste Antwort auf Random?
    
7. Gib zwei Strategien $A$ und $B$ an, für die gilt:
   1. Die direkte Begegnung von $A$ und $B$ geht immer zugunsten von $B$ aus, d.h. $V(B/A) > V(A/B)$
       
   2. $B$ kann trotzdem nicht in eine Population von $A$ eindringen.
   
    
8. Zeige: Die Strategie Tit For Two Tats (Bestrafe erst bei zwei Defektionen) ist nicht kollektiv stabil. Es genügt dafür eine Strategie anzugeben, die in eine Population von Tit For Two Tat-Spielern eindringen kann.
    
9. Zeige: Die Strategie Grim (siehe Seite 6.2.3.1) ist kollektiv stabil aber nicht evolutionär stabil.
    
10. In welchem Verhältnis stehen die Begriffe der kollektiven Stabilität und der evolutionären Stabilität zu dem des Nash-Gleichgewichts?
     
11. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Verkäufer mindestens ehrlich sein, damit sich das Geschäft für den Käufer in dem folgenden Vertrauensspiel lohnt?

    (10,8)(-1,0) Käufer 5 2 Verkäufer 2 2

    kaufe nicht kaufe

    verschicke schicke nicht

    35, 35 50, 50 0, 70

    Quelle: Bolton, Katok, Ockenfels (Bolton/Katok/Ockenfels 2004)

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