Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
    1.1 Entscheidungstabellen und -bäume
        1.1.1 Einleitung
        1.1.2 Der Gegenstand der Entscheidungstheorie
        1.1.3 Darstellungsformen
            1.1.3.1 Entscheidungsbäume und -tabellen
            1.1.3.2 Exkurs: Entscheidungsbäume in Tabellen umwandeln
        1.1.4 Literaturhinweise
        1.1.5 Aufgaben
    1.2 Entscheidungen unter Unwissenheit I
    1.3 Entscheidungen unter Unwissenheit II
    1.4 Entscheidungen unter Risiko
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

1.1.3.1 Entscheidungsbäume und -tabellen

Zuvor hatten wir schon ein einfaches Beispiel einer Entscheidungstabelle angeführt. Dies ist nicht die einzige Form, in der man Entscheidungsprobleme schematisch darstellen kann. Eine andere, wahrscheinlich sogar anschaulichere Form der schematischen Darstellung ist der Entscheidungsbaum. Die weiter oben schon einmal als Entscheidungstabelle dargestellte Entscheidungssituation sieht als Baum folgendermaßen aus:


[image: Beispiel1_1.png]

Entscheidungsbäume bestehen immer aus Knoten und Ästen. Dabei werden diejenigen Knoten, an denen eine Entscheidung zwischen unterschiedlichen Handlungsalternativen getroffen werden muss, Entscheidungsknoten genannt. Entscheidungsknoten werden durch ein Quadrat symbolisiert. Diejenigen Knoten, die ein Zufallsereigniss repräsentieren, werden Möglichkeitsknoten genannt und durch einen Kreis symbolisiert. Eingangs wurde statt von „Zufallsereignissen“ von „Zuständen“ gesprochen. Die Zweige, die auf einen Entscheidungsknoten folgen, stellen dabei unterschiedliche „Handlungsalternativen“ dar, zwischen denen die Entscheiderin wählen kann. Die Zweige, die auf einen Möglichkeitsknoten folgen, entsprechen dagegen unterschiedlichen (Welt)-“Zuständen“, von denen entweder nicht sicher ist, welcher davon eintreten wird, oder von denen wir nicht wissen welcher eintreten wird oder bereits eingetreten ist, so dass es sich aus Sicht des Entscheiders immer noch um ein zufälliges Ereignis handelt. (Die Unterscheidung zwischen epistemischer Unsicherheit und objektiver Unbestimmtheit und, damit einhergehend, die zwischen subjektiver und objektiver Wahrscheinlichkeit muss uns an dieser Stelle noch nicht interessieren.) Die Ergebnisse stehen am Ende der Äste.

Hat man eine Entscheidungssituation, wie in diesem Fall, bereits durch eine Entscheidungstabelle dargestellt, dann kann man daraus sehr einfach einen Entscheidungsbaum ableiten, der dieselbe Entscheidungssituation wiedergibt: Man beginnt mit einem viereckigen Entscheidungsknoten. An diesen Entscheidungsknoten hängt man alle Handlungsalternativen an, die in der ersten Spalte der Tabelle stehen. Jeder dieser Zweige wird dann mit einem runden Möglichkeitsknoten versehen, an den wiederum alle Zustände angehängt werden, die in der ersten Zeile der Tabelle stehen. Am Ende der Zweige wird dann das jeweilige Ergebnis aus der Tabelle eingetragen.

Entscheidungsbäume haben gegenüber Entscheidungstabllen den Vorteil größerer Anschaulichkeit. Umgekehrt erlauben Tabellen eine kompaktere Darstellung. Die größere Anschaulichkeit soll an einem weiteren Beispiel demonstriert werden. Bei diesem Beispiel geht es um eine Person, die vor der Entscheidung steht, ob sie an einem Sonntag bei unsicherer Wetterprognose zur Küste fahren und sich dort entweder sonnen oder, falls es regnet, dort angeln gehen würde. Die Entscheidungssituation, die mehrere Einzelentscheidungen beinhaltet (1) zur Küste fahren oder nicht, 2) bei Regen: Angeln gehen oder gleich heimkehren) könnte folgendermaßen aussehen:


[image: Beispiel1_2.png]

(Beispiel aus (Resnik 1987, S. 18))

Entscheidungsbäume erlauben es komplexe Entscheidungen, die aus mehreren Einzelentscheidungen zusammengesetzt sind, in ihrem Verlauf darzustellen. Dennnoch kann man jedes Entscheidungsproblem, dass sich durch einen Entscheidungsbaum beschreiben lässt auch als Entscheidungstabelle darstellen. Dazu muss man die möglichen Sequenzen von Einzelentscheidungen zu Gesamtstrategien zusammenfassen. Solche Gesamtstrategien müssen die „unter allen möglichen Eventualitäten“ zu treffenden Einzelentscheidungen festlegen. Gleichfalls ist es meist erforderlich, die Zufallsereignisse zu komplexeren Zuständen zusammenzufassen. Verfährt man in dieser Weise, dann entsteht aus dem eben präsentierten Entscheidungsbaum folgende Tabelle:

Regen und Fische beißenRegen und keine FischeSonnenschein
A1 gelangweilt gelangweilt erfreut
A2 erfreut frustriert erfreut
A3 gelangweilt gelangweilt gelangweilt
Quizfrage: Kann man anhand dieser Entscheidungstabelle bereits feststellen, welche Handlungsalternative gewählt werden sollte oder zumindest sagen, ob eine bestimmte Handlungsalternative definitiv nicht gewählt werden sollte?

Nehmen Sie sich ruhig ein wenig Zeit, um sich klar zu machen, dass die Tabelle dem Entscheidungsbaum entspricht, d.h. dass alle Handlungsalternativen, die nach der Baumdarstellung gewählt werden können, auch nach der Tabellendarstellung möglich sind, und ebenso auch alle denkbaren Kombinationen von Zufallsereignissen. Man könnte sich dabei zunächst wundern, warum beispielsweise die Kombination der Ereignisse „Sonnenschein“ und „Fische beißen“ nicht in der Tabelle vorkommt. Aber da in dem Fall, dass die Sonne scheint, der zweite Möglichkeitsknoten gar nicht mehr erreicht wird, wirkt sich der Unterschied, ob die Fische beißen oder nicht, auch nicht auf das Ergebnis aus. Insofern können beide Fälle durch ein- und dieselbe Zustandsspalte „Sonnenschein“ erfasst werden

Das Verfahren, wie man einen Entscheidungsbaum in eine Tabelle überführt, ist ebenfalls rein mechanischer Art. Da es etwas komplizierter ist als die Umwandlung einer Tabelle in einen Entscheidungsbaum, werden wir es gleich (Abschnitt 1.1.3.2) ausführlicher betrachten. Bis dahin soll einfach als gegeben angenommen werden, dass dies immer möglich ist.

Wenn wir es aber einmal als gegeben betrachten, dass man jeden Entscheidungsbaum in eine Entscheidungstabelle überführen kann, und, wie zuvor schon gezeigt wurde, jede Entscheidugnstabelle in einen Entscheidungsbaum, dann hat das die für uns wichtige Konsequenz, dass wir frei sind, uns je nach Konvenienz der einen oder der anderen Darstellung zu bedienen. Dies gilt insbesondere für die Entwicklung der Entscheidungstheorie selbst. Denn wir können nun davon ausgehen, dass alle Überlegungen, die wir in Bezug auf Entscheidungsprobleme anhand einer der Darstellungsformen anstellen, ihre Gültigkeit behalten, wenn wir zu der anderen Darstellungsform übergehen. Für die Entwicklung der Theorie eignet sich dabei die kompaktere Tabellenform häufig besser. Umgekehrt bietet sich für die Darstellung und Lösung bestimmter Entscheidungsprobleme oft eher die anschaulichere Darstellung durch Entscheidungsbäume eher an.

Wenn die Rede davon war, dass sich Tabellendarstellung und Baumdarstellung auf mechanische Weise ineinander überführen lassen, so bedeutet das allerdings nicht, dass wenn man nach diesem Verfahren einen Entscheidungsbaum zuerst in eine Tabelle und dann wieder in einen Baum überführt, auch derselbe Entscheidungsbaum wieder dabei heraus kommt. Transformiert man die eben gewonnene Tabelle wieder in einen Baum, so hat dieser Entscheidungsbaum die folgende Gestalt:


[image: Beispiel1_4.png]

Dass der Entscheidungsbaum nach der Übertragung in die Tabellenform und dann wieder der Rückübertragung in die Baumform ganz anders aussieht, sollte allerdings nicht verwundern, denn es gibt in der Regel viele unterschiedliche Möglichkeiten ein- und dasselbe Entscheidungsproblem als Baum- und Tabelle darzustellen. Der zuletzt gezeigte Baum stellt in der Tat dasselbe Entscheidungsproblem dar wie der ursprüngliche Baum. Identisch sind zwei Entscheidungsprobleme genau dann, wenn denselben Kombinationen von Handlungsalternativen und Zuständen dieselben Ergebnisse zugeordnet sind. Bei Entscheidungen unter Risiko müssen die möglichen Weltzustände darüber hinaus mit denselben Wahrscheinlichkeiten eintreten. Leider kann man weder der Baumdarstellung noch der Tabellendarstellung unmittelbar ansehen, ob zwei Entscheidungsprobleme identisch sind. Für die Entscheidungsbäume ist dies nach dem vorhergehenden Beispiel offensichtlich. Bei Tabellen ergibt sich dies unter anderem daraus, dass die Reihenfolge der Spalten und Zeilen für das zu Grunde liegende Entscheidungsproblem egal ist (siehe Aufgabe 1.1.5).

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