Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I |
| Inhalt |
Mit Hilfe einer Präferenzrelation kann man die Gütermenge, auf die
sich die Relation bezieht, in eine Menge von Indifferenzklassen partionieren,
indem man jeder Indifferenzklasse alle diejenigen Güter zuordnet, zwischen
denen Indifferenz herrscht. Ist die Präferenzlrelation wohlgeformt, dann schöpfen die Indifferenzklassen
die gesamte Gütermenge aus, und jedes Gut ist Element genau einer Indifferenzklasse.[10] Weiterhin
induziert die Ordnung der Güter durch die Präferenzrelation eine Ordnung
auf der Menge der Indifferenzklassen. Wir können schreiben,
genau dann wenn für ,
wobei mit bzw.
jeweils die Indifferenzklasse gemeint sein soll, der
bzw. angehört.[11] Aus
der Konstruktion der Indifferenzklassen ergibt sich dabei, dass wenn
für ein irgend ein beliebiges
und ein beliebieges
dann gilt für jedes
und jedes . Wir können
nun den Indifferenzklassen bzw. ihren Elementen Zahlen zuordnen, deren
Ordnung der Ordnung der Indifferenzklassen entspricht. Diese Zuordnung bezeichnen wir als Nutzenfunktion oder auch
als Nutzenskala, wobei die Nutzenskala jedoch strenggenommen
die Zielmenge der Nutzenfunktion ist. Eine Nutzenfunktion
ist also eine Abbildung der Gütermenge
auf die reellen Zahlen, für die Folgendes gelten muss:
Wichtig ist dabei, dass bei dieser Art von Nutzenfunktionen, den zugeordneten Zahlenwerten keine andere Bedeutung zukommt als diejenige, das Ordnungsverhältnis zwischen den Gütern auszudrücken. Man kann also z.B. sagen, dass ein Gut x, dem eine Nutzenfunktion den Wert 4 zuordnet, nützlicher ist als ein Gut y, dem sie den Wert 1 zuordnet. Aber es wäre falsch zu sagen, dass das Gut x viermal so nützlich ist, wie das Gut y. Die beiden folgenden Nutzenfunktionen drücken dementsprechend denselben Nutzen aus:
| G | x | y | z | G | x | y | z | |
| u | 1 | 2 | 3 | v | -1 | 2 | 7 | |
Man nennt die so interpretierten Nutzenfunktionen auch ordinale
Nutzenfunktionen. Zwei ordinale Nutzenfunktionen beschreiben genau
dann denselben Nutzen, wenn sie sich durch „ordnungserhaltende
Transformationen“ ineinander überführen lassen. Eine ordnungserhaltende
oder auch „ordinale Transformation“ ist eine Transformation,
die die Bedingung erfüllt:
wobei die Gütermenge und die Transformation der Nutzenskala in eine andere Nutzenskala ist.
Mit Hilfe ordinaler Nutzenskalen lassen sich unsere Entscheidungstabellen (oder unsere Entscheidungsbäume) in einer noch einfacheren und übersichlicheren Form darstellen, indem wir die möglichen Resultate des Entscheidungsprozesse durch ihre Zahlenwerte auf einer (beliebigen) Nutzenskala widergeben. Die Entscheidungstabellen sehen dann noch einmal etwas schematischer aus, z.B. so:
| 3 | 7 | 2 | 0 | |
| 2 | 1 | 2 | -1 | |
| 4 | 6 | 5 | 0 | |
Ein Vorteil dieser Darstellung besteht darin, dass sich Entscheidungsregeln besonders leicht anwenden lassen, da sich die Präferenzordnung unmittelbar an der Größe der Zahlen ablesen lässt. In diesem Beispiel kann man beinahe sofort „sehen“, dass die Entscheidung durch beide anderen Handlungsalternativen dominiert wird und damit sicherlich ausscheidet. Welche der verbleibenden Alternativen gewählt werden solte, lässt sich anhand der Dominanz allein nicht mehr entscheiden. Dafür benötigt man weitergehende Entscheidungsregeln, denen wir uns nun zuwenden.
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[10] Ökonomen sprechen statt „Indifferenzklassen“ auch gerne von „Indifferenzkurven“. Die Indifferenzkurven erhält man, wenn man die Indifferenzklassen grafisch darstellt.
[11] Man beachte, dass, wenn man die Indifferenzklassen in dieser Weise durch die in ihnen enthaltenen Güter identifiziert, unterschiedlich idizierte Indifferenzklassen, z.B. , durchaus ein- und diesselbe Indifferenzklasse darstellen können, nämlich dann, wenn zwischen den Gütern im Index Indifferenz herrscht, also wenn .
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