Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
    1.1 Entscheidungstabellen und -bäume
    1.2 Entscheidungen unter Unwissenheit I
        1.2.1 Die einfachste Entscheidungsregel: Das Prinzip der Dominanz
        1.2.2 Präferenzen
        1.2.3 Ordinale Nutzenfunktionen
        1.2.4 Entscheidungsregeln auf Basis des ordinalen Nutzens
        1.2.5 Aufgaben
    1.3 Entscheidungen unter Unwissenheit II
    1.4 Entscheidungen unter Risiko
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
Literaturverzeichnis

1.2.3 Ordinale Nutzenfunktionen

Mit Hilfe einer Präferenzrelation kann man die Gütermenge, auf die sich die Relation bezieht, in eine Menge von Indifferenzklassen partionieren, indem man jeder Indifferenzklasse alle diejenigen Güter zuordnet, zwischen denen Indifferenz herrscht. Ist die Präferenzlrelation wohlgeformt, dann schöpfen die Indifferenzklassen die gesamte Gütermenge aus, und jedes Gut ist Element genau einer Indifferenzklasse.[10] Weiterhin induziert die Ordnung der Güter durch die Präferenzrelation eine Ordnung auf der Menge der Indifferenzklassen. Wir können schreiben, genau dann wenn für , wobei mit bzw. jeweils die Indifferenzklasse gemeint sein soll, der bzw. angehört.[11] Aus der Konstruktion der Indifferenzklassen ergibt sich dabei, dass wenn für ein irgend ein beliebiges und ein beliebieges dann gilt für jedes und jedes . Wir können nun den Indifferenzklassen bzw. ihren Elementen Zahlen zuordnen, deren Ordnung der Ordnung der Indifferenzklassen entspricht. Diese Zuordnung bezeichnen wir als Nutzenfunktion oder auch als Nutzenskala, wobei die Nutzenskala jedoch strenggenommen die Zielmenge der Nutzenfunktion ist. Eine Nutzenfunktion ist also eine Abbildung der Gütermenge auf die reellen Zahlen, für die Folgendes gelten muss:


Wichtig ist dabei, dass bei dieser Art von Nutzenfunktionen, den zugeordneten Zahlenwerten keine andere Bedeutung zukommt als diejenige, das Ordnungsverhältnis zwischen den Gütern auszudrücken. Man kann also z.B. sagen, dass ein Gut x, dem eine Nutzenfunktion den Wert 4 zuordnet, nützlicher ist als ein Gut y, dem sie den Wert 1 zuordnet. Aber es wäre falsch zu sagen, dass das Gut x viermal so nützlich ist, wie das Gut y. Die beiden folgenden Nutzenfunktionen drücken dementsprechend denselben Nutzen aus:

G x y z G x y z
u 1 2 3 v -1 2 7

Man nennt die so interpretierten Nutzenfunktionen auch ordinale Nutzenfunktionen. Zwei ordinale Nutzenfunktionen beschreiben genau dann denselben Nutzen, wenn sie sich durch „ordnungserhaltende Transformationen“ ineinander überführen lassen. Eine ordnungserhaltende oder auch „ordinale Transformation“ ist eine Transformation, die die Bedingung erfüllt:


wobei die Gütermenge und die Transformation der Nutzenskala in eine andere Nutzenskala ist.

Mit Hilfe ordinaler Nutzenskalen lassen sich unsere Entscheidungstabellen (oder unsere Entscheidungsbäume) in einer noch einfacheren und übersichlicheren Form darstellen, indem wir die möglichen Resultate des Entscheidungsprozesse durch ihre Zahlenwerte auf einer (beliebigen) Nutzenskala widergeben. Die Entscheidungstabellen sehen dann noch einmal etwas schematischer aus, z.B. so:

3 7 2 0
2 1 2 -1
4 6 5 0

Ein Vorteil dieser Darstellung besteht darin, dass sich Entscheidungsregeln besonders leicht anwenden lassen, da sich die Präferenzordnung unmittelbar an der Größe der Zahlen ablesen lässt. In diesem Beispiel kann man beinahe sofort „sehen“, dass die Entscheidung durch beide anderen Handlungsalternativen dominiert wird und damit sicherlich ausscheidet. Welche der verbleibenden Alternativen gewählt werden solte, lässt sich anhand der Dominanz allein nicht mehr entscheiden. Dafür benötigt man weitergehende Entscheidungsregeln, denen wir uns nun zuwenden.

[10] Ökonomen sprechen statt „Indifferenzklassen“ auch gerne von „Indifferenzkurven“. Die Indifferenzkurven erhält man, wenn man die Indifferenzklassen grafisch darstellt.

[11] Man beachte, dass, wenn man die Indifferenzklassen in dieser Weise durch die in ihnen enthaltenen Güter identifiziert, unterschiedlich idizierte Indifferenzklassen, z.B. , durchaus ein- und diesselbe Indifferenzklasse darstellen können, nämlich dann, wenn zwischen den Gütern im Index Indifferenz herrscht, also wenn .

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