Vorlesungsskript: Grundlagen des Entscheidens I

Eckhart Arnold

1 Techniken des Entscheidens
2 Zur Theorie der Kollektiven Entscheidungen
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4 Neumann-Morgensternsche Nutzentheorie
5 Spieltheorie
6 Kritische Reflexion
7 Beispielklausur
    7.1 Klausurvorbereitung und Klausur
        7.1.1 Aufgaben zur Klausurvorbereitung
            7.1.1.1 Entscheidungen unter Unwissenheit
            7.1.1.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
            7.1.1.3 Entscheidungen unter Risiko
            7.1.1.4 Spieltheorie
        7.1.2 Die Klausur
        7.1.3 Die Lösung
Literaturverzeichnis

7.1.1.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

  1. Ein Patient, der kürzlich einen Urlaub in Zentralafrika verbracht hat, wird mit Verdacht auf Malaria in die Klinik eingeliefert. Es ist bekannt, dass etwa bei 0.5% derartiger Verdachtsfälle tatsächlich eine Malariaerkrankung auftritt. Die behandelnde Ärztin führt zunächst einen Antigen-Schnelltest durch. Dieser Schnelltest hat eine positiv-positiv Rate von 80% und eine positiv-negativ Rate von 0.01%. Der Test fällt negativ aus.

    Da der Schnelltest nicht besonders sensitiv ist (wie man an der niedrigen positiv-positiv Rate sieht), führt die Ärztin noch einen zweiten Test auf Basis einer Polymerase-Kettenreaktion durch. Dieser Test, der mit einer positiv-positiv Rate von 99,5% und einer positiv-negativ Rate von 0.3% sehr viel zuverlässiger ist, fällt positiv aus.

    Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss die Ärztin davon ausgehen, dass der Patient an Malaria erkrankt ist?

     
  2. Die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit wird wie folgt definiert:
    1. Es gibt eine endliche Menge von Elementarereignissen: . (Beispiel: Beim Würfeln )
       
    2. Jedes Ereignis ist durch eine Menge charakterisiert, die Teilmenge von ist: . (Beispiel: Das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln, wird durch die Menge beschrieben.)
       
    3. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist definiert als die Anzahl der Elemente der Ereignismenge („günstige Fälle“) geteilt durch die Anzahl der Elementarereignisse („mögliche Fälle“). Wenn die Anzahl der Elemente der Menge beschreibt, dann ist die Wahrscheinlichkeit also definiert durch: .

    Beweise, dass die Laplac'sche Wahrscheinlichkeit die kolmogorowschen Axiome erfüllt:

    1. Axiom:
       
    2. Axiom:
       
    3. Axiom:

     
  3. Zeige, dass aus den drei kolmogorwschen Axiomen, die Monotonie von Wahrscheinlichkeiten folgt:



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